Problem mit Indexschreibweise in Aufgabe

07.07.2011, 15:28	Andylinhooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Indexschreibweise in Aufgabe Meine Frage: Hallo. Wir sollen mit Tensoren rechnen lernen und haben folgende Aufgabe: Leite mittels der Gleichungen (1) und (2) Gleichung (3) her: $\begin{eqnarray} <br /> (1)\quad \underline{L} = \sum\limits_{i=1}^N m_i\underline{r}_i\times (\underline{\omega}\times \underline{r}_i) <br /> \\\\<br /> (2)\quad \underline{L}=\underline{\underline{\Theta}}\,\underline{\omega}<br /> \\\\<br /> (3)\quad \Theta_{\alpha\beta} = \sum\limits_{i=1}^N m_i\left((\underline{r}_i)^2\delta_{\alpha\beta}-(\underline{r}_i)_{\alpha}(\underline{r}_i)_{\beta}\right)<br /> \end{eqnarray}$ Es handelt sich dabei um den Drehimpuls eines starren Körpers, Omega ist der Trägheitstensor, aber das ist eigendlich nicht so wichtig. Meine Ideen: Der Einfachkeit halber würde ich zunächst das Summenzeichen und die Indizes vernachlässigen (also betrachte ich den Drehimpuls eines einzelnen Masseteilchens) Also: $\begin{eqnarray} <br /> (1)\quad \underline{L} = m\left(\underline{r}\times (\underline{\omega}\times \underline{r})\right) \end{eqnarray}$ Da 2 Kreuzprodukte vorkommen, kann man mittels Epsilon-Tensor schreiben: $\begin{eqnarray} <br /> (1)\underline{L}=\quad m\left(\varepsilon_{abc}r_a (\underline{\omega}\times \underline{r})_b \,\,\underline{e}_c\right)<br /> \\<br /> \textnormal{Mit} (\underline{\omega}\times \underline{r})_b = \varepsilon_{deb} \omega_d r_e \\<br /> \textnormal{folgt:}\\<br /> (1)\quad \underline{L}=m\left(\varepsilon_{abc}\varepsilon_{deb}r_a \omega_d r_e \,\,\underline{e}_c\right)<br /> \\\\<br /> (1)\quad \underline{L}=m\left(\varepsilon_{bac}\varepsilon_{bed}r_a \omega_d r_e \,\,\underline{e}_c\right)<br /> \end{eqnarray}$ Mit der Identität $\begin{eqnarray} <br /> \varepsilon_{bac}\varepsilon_{bed}=\delta_{ae}\delta_{cd}-\delta_{ce}\delta_{ad}<br /> \end{eqnarray}$ (Kroneckerdeltas) folgt $\begin{eqnarray} <br /> (1)\quad \underline{L}=m\left((\delta_{ae}\delta_{cd}-\delta_{ce}\delta_{ad})(r_a \omega_d r_e \,\,\underline{e}_c)\right)<br /> \end{eqnarray}$ Durch Anwendung der Kroneckerdeltas folgt letztendlich $\begin{eqnarray} <br /> (1)\quad \underline{L}=m\left(r_e r_e \omega_d \underline{e}_d - r_d\omega_d r_e\underline{e}_e\right)<br /> \end{eqnarray}$ Ist das bis dahin richtig??? Und wenn ja, wie geht es weiter?? Danke vielmals im Vorraus!!!

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