Gruppen, Ordnung

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informatikmaus Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen, Ordnung
die aufgabe ist:

man zeige dass folgendes gilt (wenn man isomorphe Gruppen als gleich ansieht):

es gibt genau zwei verschiedene gruppen der ordnung 4.

anleitung zur aufgabe: man zeige, dass es ausser der zyklischen gruppe G = <a>= {1,a,a^2,a^3} bis auf isomorphie nur noch eine weitere gruppe der ordnung 4 gibt. man beginne den beweis so: sei G = {1,a,b,c} eine nicht zyklische gruppe.

man überlege sich dann, welche ordnung a, b und c haben müssen. danch zeige man, dass damit die einträge der gruppentafel bereits festeht.


also.....

sei G = {1,a,b,c} dann ist die ordnung von G = |G| = 3*2 = 6 ???

und somit können die elemente nur eine ordnung von 1,2,3 oder 6 haben...

aber wiso soll ich dadurch wissen wie die elemente in der gruppentafel angeordnet sind?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen, Ordnung
Zitat:
Original von informatikmaus
also.....

sei G = {1,a,b,c} dann ist die ordnung von G = |G| = 3*2 = 6 ???


Nein, G hat nach Voraussetzung genau 4 Elemente und die sind alle aufgezählt. Du kannst nun durch verschiedene Überlegungen versuchen heraus zu finden, welche Ordnungen die Elemente a, b, c haben können (4 kann es nicht sein, denn dann wäre G zyklisch).

Welche Möglichkeiten bleiben über und welche sind davon möglich ?

Grüße Abakus smile
 
 
informatikmaus Auf diesen Beitrag antworten »

"(4 kann es nicht sein, denn dann wäre G zyklisch)"

warum? dasmit dem zyklisch habe ich noch nicht so ganz verstanden, ich kenne zwar das prinzip aber warum kann es zB nicht 4 sein?


und wenn es nicht 4 ist dann bleiben nur noch teiler von 4, also 1 und 2? was sagt mir das jetzt zur anordnung?
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt, dass G 4 Elemente hat. Und du nimmst an, dass G nicht zyklisch ist. Es soll also kein Element a geben, so dass ist.
Daher kann es kein Element der Ordnung 4 geben, denn dann würde dieses Element die Eigenschaft von a erfüllen. Dann hättest du also eine zyklische Gruppe. Denn, dass ein Element a die Ordnung 4 hat heißt doch, dass die kleinste Untergruppe die a enthält 4 Elemente besitzt. Und diese Untergruppe bildet man durch:

Welche Eigenschaften hat also ein Element der Ordnung 2?

( denn wie du richtig gesehen hast, kommt als Ordnung nur Teiler von 4 in Frage, also 2 und 1. )
informatikmaus Auf diesen Beitrag antworten »

ein element der ordnung 2 hat die eigenschaft, dass es mit sich selbst verknüpft 1 ergibt?

das mit den ordnungen habe ich irgendwie noch nich rightig verstanden
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von informatikmaus
ein element der ordnung 2 hat die eigenschaft, dass es mit sich selbst verknüpft 1 ergibt?


Ja, das bedeutet es . Sunwater hat die Ordnung in seinem Beitrag bereits gut erklärt.

Jetzt hast du also eine Gruppe , wobei 3 Elemente die Ordnung 2 haben. Damit kannst du weiterdenken.

Grüße Abakus smile

EDIT: e durch 1 ersetzt
informatikmaus Auf diesen Beitrag antworten »

ok..

ich versuche mich mal an einer antwort...

sei G = {1,a,b,c} eine nicht zyklische gruppe. G hat die ordnung |G|=4. da diese gruppe die ordnung 4 hat und nicht zyklisch sein soll, darf kein element dieser gruppe die ordnung 4 haben. also bleiben nur noch die ordnungen 1 und 2 übrig, da die ordnung der elemente ein teiler der ordnung der gruppen sein muss. 1 ist das neutrale element und hat die ordnung 1.

ok hier muss ich die antwort unterbrechen.

nun haben a,b und c die ordnung 2

* 1abc
1 1abc
a a1--
b b-1-
c c--1

dann sieht meine gruppentafel schon mal so aus? soll ich jetzt die letzten einträge einfach logisch eintragen?

das in jeder zeile jedes element nur einmal vorkommt (warum ist das eigentlich nochmal so?)

sorry, wieder fragen über fragen
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von informatikmaus
* 1abc
1 1abc
a a1--
b b-1-
c c--1

dann sieht meine gruppentafel schon mal so aus? soll ich jetzt die letzten einträge einfach logisch eintragen?

das in jeder zeile jedes element nur einmal vorkommt (warum ist das eigentlich nochmal so?)


Jetzt kannst du überlegen, was sein muss. Jedes Element kommt pro Zeile nur einmal vor, ja.

Angenommen in der Zeile von a wären zwei Elemente gleich, dann ist:



Grüße Abakus smile
informatikmaus Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kannst du überlegen, was sein muss. Jedes Element kommt pro Zeile nur einmal vor, ja.

Angenommen in der Zeile von a wären zwei Elemente gleich, dann ist:



Grüße Abakus smile [/quote]

diese rechnung habe ich jetzt nich so ganz vestanden. verwirrt

wie komme ich darauf was a*b ist ohne die tabelle einfach so auszufüllen, dass jedes element in jeder zeile und spalte nur einmal vorkommt? und warum geht es nicht, dass in den restlichen freien feldern überall das gleiche element steht? das ist mir noch nicht so ganz klar.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von informatikmaus
wie komme ich darauf was a*b ist ohne die tabelle einfach so auszufüllen, dass jedes element in jeder zeile und spalte nur einmal vorkommt?


Welche Möglichkeiten hast du denn in diesem Fall ?


Zitat:
und warum geht es nicht, dass in den restlichen freien feldern überall das gleiche element steht? das ist mir noch nicht so ganz klar.


Nun, das hab ich versucht zu erklären:

Angenommen in der Zeile von a wären zwei Elemente gleich (d.h. zwei verschiedene Produkte von Gruppenelementen sind gleich), dann ist (hier werden die Felder von ab und ac als gleich angenommen):



Grüße Abakus smile
informatikmaus Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke smile

ich mussja zeigen, dass es nur noch eine weitere gruppe der ordnung 4 gibt.

wenn ich jetzt alles so wie hier aufschreibe, so weit ich kann, habeich dann gezeigt dass es nur noch eine weitere gibt?

ein paar punkte wir es hierfür ja wohl geben, damit bin ich auch zufrieden.

ich habe noch nicht alles genau verstanden aber vieleicht ja nach der aufgabenbesprechung.

danke an alle smile
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Besser wäre, wenn du die Gruppe konkret angibst und zeigst, dass es nur diese eine Gruppe noch gibt.

Dazu müsstest du zunächst überlegen, dass ab = c sein muss (1, a, oder b kommen jeweils nicht in Frage). Analog kannst du dir die anderen Produkte überlegen.

Grüße Abakus smile
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