Verschoben! Parallelität Ebene und Gerade

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lissyfissy Auf diesen Beitrag antworten »
Parallelität Ebene und Gerade
Hey Leute,

ich habe wieder eine Frage zu meiner Hausaufgabe:

Zeige: Die Gerade g liegt parallel zur Ebene E. Prüfe, ob g keinen oder unendlich viele Punkte mit der Ebene E gemeinsam hat.

g:x= (2,1,4) + k(3,1,2)

E: x+y-2z=3

Ich würde jetzt persönlich das Skalarprodukt von Richtungsvektor und Normalenvektor ausrechnen, sodass null ergibt. Somit wäre die Parallelität von Ebene und Gerade schnell bewiesen.

also: Normalenvektor =(1,1,-2)
Richtungsvektor = (3,1,2)

das wäre dann n*r= 0 also sind sie parallel

Dann müsstest ichaber noch schauen, ob ein Punkt der Geraden (zum Beispiel der Stützpunkt) in der Ebene liegt. Und wie mache ich das?

Auf eine schnelle Antwort würde ich mich freuen :-)
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst den Stützpunkt der Geraden in die Ebenengleichung einsetzten und schauen, ob die Gleichung erfüllt ist.
lissyfissy Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wenn ich den Stützvektor (2,1,4) in die Ebenengleichung einsetze, bekomme ich -5 = 3 somit ist die Gleichung nicht erfüllt.
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Und das bedeutet?
lissyfissy Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet, dass Ebene und Gerade nicht parallel sind. Oder?
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht schwächeln. Augenzwinkern

Die Parallelität von Gerade und Ebene hast Du mit dem Skalarprodukt schon schön gezeigt. Einmal parallel - immer parallel.

Nun ging es zur Bestimmung von gemeinsamen Punkten. Gleichung nicht erfüllt - Punkt liegt nicht in der Ebene.
 
 
waterflies Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo erstmal

genau zu dieser Aufgabe hatte ich auch eine Frage, und zwar verstehe ich einfach nicht wie eine Ebene und eine Gerade Parallel sein können, wenn sie sich schneiden bzw. gemeinsame Punkte aufweisen, irgendwie verstehe ich hier, das Konzeot nicht so richtig.
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn eine Gerade und eine Ebene parallel sind, können sie nicht genau einen bzw. einige Schnittpunkte haben. Das ist richtig.
Die Gerade kann aber völlig in der Ebene liegen (auch das ist parallel!), dann gibt es unendlich viele gemeinsame Punkte.

Bei der Prüfung auf "parallel und nicht in der Ebene liegend" genügt es daher, einen einzigen Punkt der Geraden zu überprüfen. Wenn er nicht in der Ebene liegt, tut's auch kein anderer, liegt er darin, liegen alle anderen ebenfalls in der Ebene.
waterflies Auf diesen Beitrag antworten »

aber was zeichnet den die parallelität dann aus ?
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Betrachtung von Gerade/Gerade sind die Richtungsvektoren linear abhängig (die Geraden verlaufen in dieselben Richtung), bei Ebene/Ebene die Normalenvektoren. Bei der Betrachtung von Gerade/Ebene liegen die Vektoren senkrecht aufeinander.

Vereinfacht ausgedrückt: Die Dinger liegen nicht kreuz und quer im Raum und schneiden sich auch nicht irgendwo oder irgendwie, sondern unterliegen einer gewissen Ordnung. So sind z.B. auch die Abstände jedes Punktes einer Geraden zu einer parallelen Ebene gleich. (Wenn die Gerade in der Ebene liegen sollte, wäre dieser Abstand gleich Null.)

Edit: Ich habe das Thema in die Geometrie verschoben.
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