Masse Feder Dämpfer System DGL

08.07.2011, 10:01	hegi	Auf diesen Beitrag antworten »
Masse Feder Dämpfer System DGL Meine Frage: Hallo, könnte mir vlt jemand die Differential Gleichung für folgendes AWP Problem aufstellen ? gruß und vielen dank im voraus Meine Ideen: leider weiß ich nur die DGL für den Mittleren teil m¨x = ?FF ? FD
08.07.2011, 14:39	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lagrangefunktion für dieses Problem lautet $\begin{eqnarray} L=\frac{1}{2}m_1\dot x_1^2+\frac{1}{2}m_2\dot x_2^2-\frac{1}{2}c_1x_1^2-\frac{1}{2}c_3x_2^2-\frac{1}{2}c_2(x_2-x_1)^2 \end{eqnarray}$ ________(1) Bei geschwindigkeitsabhängiger Reibkraft lauten die beiden Lagrangesche Gleichungen: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x_k}-\frac{\partial L}{\partial x_k}=-\frac{\partial D}{\partial \dot x_k} \end{eqnarray}$ ____(k=1; 2)_______(2) Darin ist die Dissipationsfunktion D ist ein Maß dafür, wie schnell die mechanische Energie in Wärme umgewandelt wird. Im vorliegenden Fall lautet die Dissipationsfunktion $\begin{eqnarray} D=\frac{1}{2}k(\dot x_1-\dot x_2)^2 \end{eqnarray}$ ________(3) Das bedeutet, die Reibung wächst quadratisch zur Differenz der Geschwindigkeiten der beiden Massen. (Manchmal wird der Faktor 1/2 in (3) auch weggelassen. Das ist eine Frage der Definition.) Indem wir (1) und (3) in (2) einsetzen, finden wir folgende Lagrangeschen Gleichungen: $\begin{eqnarray} c_1\ddot x_1+c_1x_1-c_2(x_2-x_1)=-k(\dot x_2-\dot x_1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_2\ddot x_2+c_3x_2+c_2(x_2-x_1)=+k(\dot x_2-\dot x_1) \end{eqnarray}$ Dieses homogene, lineare Gleichungssystem 2.Ordnung kann man mit Standardverfahren lösen. Damit ist die Bewegung der beiden Massen vollständig bekannt.
09.07.2011, 12:09	hegi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Masse Feder Dämpfer System DGL Hey Ehos vielen dank für deine antwort ! aber wieso braucht man lagrange ? und wo gehen die massen in die dgl ein ?
11.07.2011, 11:01	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich habe einen Schreibfehler gemacht: In den ersten beiden Summanden des Differenzialgleichungssystems hatte ich anstelle der Massen $\begin{eqnarray} m_1, m_2 \end{eqnarray}$ fälschlicherweise die Federkonstanten $\begin{eqnarray} c_1, c_2 \end{eqnarray}$ geschrieben. Diese Summanden müssen also richtig lauten $\begin{eqnarray} m_1\ddot x_1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} m_2\ddot x_2 \end{eqnarray}$ . Die Lagrangesche Metheode beim Lösen mechanischer Probleme ist nicht zu verwechseln mit der Lagrangeschen Metthode zum Berechnen von Minima/Maxima. Ihr werdet diese Methode noch kennen lernen. Sie ist einfacher als die Newtonsche Metode, wo man für jedes einezelne Teilchen die Kräfte finden muss. Bei der Lagranegeschen Methode muss man zunächst die Lagrangefunktion L finden. Das ist die Differenz der kinetischen Energie T und der potenziellen Energie V, also L=T-V. Damit kann man die n Lagrangesche Gleichungen sofort hinschreiben, welche den Newtonschen Gleichungen entsprechen. $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x_k}-\frac{\partial L}{\partial x_k}=0 \end{eqnarray}$ _____ $\begin{eqnarray} k=1,2,3,...,n \end{eqnarray}$ Bei Reibungsverlusten kommt rechtes noch eine Funktion hinzu.

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