Gruppe, neutrales Element

08.07.2011, 14:20

Pascal95

Gruppe, neutrales Element

Hallo,

stimmt es, dass jedes linksneutrale Element auch rechtsneutral ist?

Ich glaube, dass das stimmt, denn man könnte schreiben:
$\begin{eqnarray*} e\cdot a=a\cdot a^{-1}\cdot a=a\cdot e \end{eqnarray*}$

Dabei benutze ich: $\begin{eqnarray*} a^{-1}\cdot a =e=a\cdot a^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Kann man das auch beweisen oder ist das eine Voraussetzung ?

Desweiteren sollte ja auch gelten:
Wenn es ein rechtsneutrales Element und ein linksneutrales Element gibt, so sind diese identisch:
$\begin{eqnarray*} e_l\cdot a=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a\cdot e_r=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow~ e_l=e_l\cdot e_r=e_r \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht genau, wo welche Aussagen gelten...

Meine Vermutung:
In einer Gruppe fordert man die Existenz eines Elementes, das sowohl rechts- als auch links-neutral ist.

Vielen Dank

08.07.2011, 14:36

Huy

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In einer Gruppe fordert man die Existenz eines linksneutralen Elements, nicht die Existenz eines links- und rechtsneutralen Elements. Aus den Gruppenaxiomen folgt allerdings direkt, dass das Element auch rechtsneutral und eindeutig ist.

MfG

08.07.2011, 14:41

Pascal95

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Aha, man fordert also nur "links", "rechts" folgt daraus:

Das könnte man ja so machen:
e ist linksneutral, dann
$\begin{eqnarray*} e\cdot a=a\cdot a^{-1}\cdot a=a\cdot e \end{eqnarray*}$
ist e offensichtlich auch rechtneutral.

Dazu benutzt man ja $\begin{eqnarray*} a^{-1}\cdot a =e=a\cdot a^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Kann man das auch beweisen, oder wird das gefordert?

09.07.2011, 14:31

Heinzi

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Angenommen $\begin{eqnarray*} a^{-1}a=e \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} aa^{-1}=e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} aa^{-1} &&= e(aa^{-1})\\ &&=\left((a^{-1})^{-1}a^{-1}\right)\left(aa^{-1}\right)\\ &&=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)a^{-1}\quad\quad\quad\quad\textrm{Assoziativität}\\ &&=(a^{-1})^{-1}ea^{-1}\\ &&=(a^{-1})^{-1}a^{-1}\\ &&=e \end{eqnarray*}$

Sollte so stimmen.

09.07.2011, 14:43

Pascal95

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Da komme ich auf eine Idee:

Könnte man es nicht einfacher so machen?

Zitat:

Angenommen: $\begin{eqnarray*} a^{-1}a=e \end{eqnarray*}$ (*)
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} aa^{-1}=e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x:=a^{-1} \end{eqnarray*}$
Dann gilt nach (*): $\begin{eqnarray*} x^{-1}x=e \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \left({a^{-1}}\right)^{-1}a^{-1}=e \end{eqnarray*}$
Nun gilt aber $\begin{eqnarray*} \left(f^{-1}\right)^{-1}=f \end{eqnarray*}$ in jeder Gruppe (muss nicht abelsch sein).
Dann ist also: $\begin{eqnarray*} aa^{-1}=e \end{eqnarray*}$ (w.z.b.w)

Kann man das so machen?

09.07.2011, 14:52

Heinzi

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Und woher weißt, du dass in jeder Gruppe $\begin{eqnarray*} (a^{-1})^{-1} = a \end{eqnarray*}$ gilt?

09.07.2011, 14:53

Pascal95

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Natürlich muss man noch zeigen:

Zitat:

Satz:
$\begin{eqnarray*} \text{Sei } (G,\cdot )\text{ eine Gruppe.} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Dann gilt:}\ \ \forall x\in G:~ \left({x^{-1}}\right)^{-1}=x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Beweis:
$\begin{eqnarray*} \text{Sei }x\in G\ \Rightarrow\ x^{-1}\in G\ \Rightarrow\ \left({x^{-1}}\right)^{-1}\in G \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Es ist } x^{-1}\cdot \left({x^{-1}}\right)^{-1}=e\quad \text{(gilt ja immer)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Dann ist:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x&=& x\cdot e &=& x\cdot \underbrace{x^{-1} \cdot \left({x^{-1}}\right)^{-1}}_e &=& \underbrace{x\cdot x^{-1}}_e \cdot \left({x^{-1}}\right)^{-1} &=& e \cdot \left({x^{-1}}\right)^{-1} &=& \left({x^{-1}}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q.e.d. \end{eqnarray*}$

09.07.2011, 14:59

Heinzi

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Hallo,

So wie es scheint nutzt du in diesem Beweis schon, dass linksinvers => rechtsinvers gilt ( $\begin{eqnarray*} x^{-1}(x^{-1})^{-1}=e \end{eqnarray*}$ ), denn du forderst die Existenz eines rechtsinversien Elementes. Diese kann man aber nur fordern, wenn man linksinvers => rechtsinvers bereits bewiesen hat, da die Gruppenaxiome erstmal nur Linksinverse fordern.

09.07.2011, 18:21

Pascal95

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Man fordert also ein linksinverses Element, und ein linksneutrales Element.

Man zeigt also, dass das Linksneutrale auch rechtsneutral ist.

Dazu benutzt man, dass das linksinverse Element auch rechtsinvers ist.
Dies zeigt man (das hast du ja gemacht, ohne etwas außer Assoziativität zu benutzen).

Um es ausführlich zu machen:

e ist linksneutral, dann
$\begin{eqnarray*} e\cdot a=\underbrace{a^{-1}\cdot a}_e\cdot a=\underbrace{a\cdot a^{-1}}_{\text{linksneutral ist auch rechtsneutral}}\cdot a=a\cdot \left( a^{-1}\cdot a \right)=a\cdot e \end{eqnarray*}$
ist e offensichtlich auch rechtneutral.

Und dann kommt halt der Beweis, den du gebracht hast.

Hoffentlich habe ich das Prinzip so richtig verstanden.

Bitte um Bestätigung smile

Vielen Dank

09.07.2011, 18:28

Heinzi

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Jep, passt (außer der Text unter der geschweiften Klammer).

09.07.2011, 18:32

Pascal95

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Achso, klar damit meinte ich:

"linksinvers ist auch rechtsinvers"

Als Begründung dafür, warum aus $\begin{eqnarray*} a^{-1}a \end{eqnarray*}$ plötzlich $\begin{eqnarray*} aa^{-1} \end{eqnarray*}$ wurde...

Danke dir.

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