Flächeninhalt

25.06.2004, 21:33	Nicocle	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt Hi Hab schon wieder ne Frage.. Man soll den Flächeninhalt des Kardioiden, der durch die Gleichung $\begin{align} r(\phi)=1+cos(\phi) \end{align}$ für $\begin{align} 0\leq \phi\leq 2\pi \end{align}$ gegeben ist, berechnen. Das Doppelintegral dazu ist: $\begin{align} \Bigint_{0}^{2\pi} \Bigint_{0}^{1+cos(\phi)}~r~drd\phi \end{align}$ Meine Frage dazu ist, warum ich das Doppelintegral für $\begin{align} r \end{align}$ und nicht für $\begin{align} 1 \end{align}$ berechne?!
25.06.2004, 23:02	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieses Doppelintegral ist richtig. Das r kommt von der Substitution in Polarkoordinaten. $\begin{align} \iint_A f(x,y)\, dx \, dy = \iint_A f(r \cos(\varphi), r \sin(\varphi)) \cdot r \, dr \, d\varphi \end{align}$ A ist dabei der Integrationsbereich, in deinem Fall die Kartioide mit ihrem Inneren. f(x,y) ist in deinem Fall 1.
25.06.2004, 23:18	Nicocle	Auf diesen Beitrag antworten »
kapier ich nicht so richtig.. Berechne ich das Integral für r, weil f(x,y)=1 ist? ..ich schlag das nochmal nach, trotzdem DANKE!
25.06.2004, 23:35	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
In kartesischen Koordinaten lautet das Flächenelement dxdy. In Polarkoordinaten dagegen lautet es rdr*dphi, wie man leicht der Definition des Flächenelementes entnimmt. Deshalb steht da auch dieses r.

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