Reihen, Grenzwert und Konvergenz

08.07.2011, 19:54

Rosch

Auf diesen Beitrag antworten »

Reihen, Grenzwert und Konvergenz

Hallo zusammen,

ich habe hier ein Problem bei dem ich einfach nicht weiter weiß, Es geht um folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + ... \end{eqnarray*}$

also der Nenner wächst um 2

also hab ich folgedes

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + ... = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2n + 1} \end{eqnarray*}$

Vorrab: es handelt sich hier um eine Harmonische Reihe -> daher Divergent. Nur das wusste ich bis dahin noch nicht.

Nun habe ich vesucht den Grenzwert zu berechnen und kam auf $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Es ist schon etwas spät und ich habe den Kopf relativ voll. Aber ich hoffe ich habe hier ein unsinn gemacht.
Die vorgehensweise war einfach das Quotienenkriterium anzusetzten.
Ich werde es nicht weiter erläutern da offensichtlich die Lösung völlig fürn *Sägewerk* ist.

Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn mir einer den richtigen Weg weißt, den ich bin völlig am Ende ud kann mir nicht erklären warum das alles Harmonisch sein soll.

Dank und Gruß

08.07.2011, 19:59

Ravenlord

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Vorsicht:

Beim Quotientenkriterium musst du ein q angeben, das echt kleiner als 1 ist, sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \leq q < 1 \end{eqnarray*}$

Der Sinn dieses q's ist es, eine Beschränktheit des Quotienten anzugeben. Wenn das q nicht da wäre, könnte diese Funktion unter umständen beliebig nah an 1 herankommen, was nicht zulässig ist.
Das gilt in diesem Falle.

Außerdem ist:

$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = |\frac{2n + 1}{2n + 3}| \end{eqnarray*}$

Also wie du da auf 1/3 kommst, ist mir unklar. Aber der Quotient geht gegen 1, deswegen kann man das Quotientenkriterium hier nicht anwenden.

Gruß

08.07.2011, 20:00

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hast du denn den Grenzwert berechnet? Und wie hast du das Quotientenkriterium angesetzt? Das liefert hier nämlich keine Aussage zur Konvergenz.

08.07.2011, 20:14

Rosch

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ravenlord,

danke für dein Hinweis mit q allerdings versteh ich den Grenzwert noch nicht so ganz. Also ich hab es so gemacht, evtl kannst du mich weiter aufklären.
Nur bitte nicht lachen Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{2(n+1)+1} }{\frac{1}{2n+1} } \end{eqnarray*}$

jetzt mit kehrwert mult.

also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{2(n+1)+1} * \frac{2n+1}{1} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2n + 1}{2n + 3} \end{eqnarray*}$

offensichtlich habe ich wohl eine Regel missachtet

08.07.2011, 20:17

Ravenlord

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, habe selbst was verwechselt.

$\begin{eqnarray*} |\frac{2n+1}{2n+3}| \end{eqnarray*}$ stimmt, habe es oben editiert.

Jetzt kann man diesen Bruch mit n kürzen und man sieht, dass es für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gegen 1 geht. Deswegen kann das Quotientenkriterium nicht angewandt werden.

Weißt du, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert? Wenn ja, kannst du das zum Beweis der Divergenz deiner Reihe verwenden.

08.07.2011, 20:29

Rosch

Auf diesen Beitrag antworten »

oje ich glaube ich bin unfähig richtig zu kürzen

ich machs gerade nochmal, wäre nett wenn du mir da helfen könntest

zu kürzen muss ich ausklammern richtig?

also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n(2 + \frac{1}{n}) }{n(2 + \frac{3}{n}) } \end{eqnarray*}$

damit gehen die beiden brüche bei $\begin{eqnarray*} {n \to \infty } \end{eqnarray*}$ gegen 0

also hab ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } 1 \end{eqnarray*}$

wäre das soweit richtig?

ja alles was >= 1 ist divergiert so habe ich es zum. verstanden

Anzeige

08.07.2011, 20:31

Ravenlord

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Limes ist 1, ja. Das sagt aber nur aus, dass das Quotientenkriterium hier nicht anwendbar ist.

Du willst dennoch die Divergenz der Reihe nachweisen. Ich wiederhole: Weißt du denn, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert?

08.07.2011, 20:38

Rosch

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gedacht das ich somit nachweise ob die Reihe konv. oder div. ist.
Das ist irgendwie alles sehr verwirrend

Tut mir leid aber mir ist das nicht ganz schlüssig mit der Konveregenz und Divergenz

08.07.2011, 20:49

Ravenlord

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch mal langsam:

Wenn der Quotient beim Quotientenkriterium beliebig nah an 1 herankommen kann, kannst du nichts über die Konvergenz oder Divergenz der Reihe sagen.

Dann musst du etwas anderes versuchen. Da du anscheinend nicht weißt, dass harmonische Reihen divergieren, musst du dir etwas anderes einfallen lassen. Ich würde es mal mit dem Cauchy'schen Verdichtungskriterium versuchen.

Das bedeutet:

Deine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{2^n + 1} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Warum konvergiert die Reihe rechts nicht?

08.07.2011, 21:02

Rosch

Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde behaupten weil sie sich an keinen Grenzwert annäghert sonden ständig wächst

also : 1/2 + 2/3 + 4/5 +....

08.07.2011, 21:04

Ravenlord

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{2^n + 1} \end{eqnarray*}$ ? Konvergiert die gegen 0? Wenn nein, kann die Reihe über diese Folge aus meinem vorherigen Post gar nicht konvergieren. Was kannst du dann über die Konvergenz der anderen Reihe aussagen?

Muss jetzt jedenfalls weg. Hoffe, die Tipps helfen dir noch!

Gruß

08.07.2011, 22:23

Rosch

Auf diesen Beitrag antworten »

Schade das zu schon gehen musst. Ich danke dir jedenfalls, du hast mir sehr geholfen.

Dennoch versteh ich nicht worauf du hinaus willst. Für die Reihe gibt es doch keinen Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$

bzw. es geht gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

liege ich da etwa falsch?

08.07.2011, 23:14

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um den Grenzwert der Folge, über die die Reihe gebildet wird.

[WS] Reihen

09.07.2011, 11:47

Rosch

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Iorek, der link ist echt super. Nur habe ich schon beim ersten Bsp. der Konvergeten Reihe eine frage. Warum $\begin{eqnarray*} \frac {1}{k} \end{eqnarray*}$ = 1 wird, wenn ich für k = $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ einsetzte dann geht der Bruch doch gegen 0.

Würde mich sehr über die Antwort freuen!

09.07.2011, 11:52

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ "einzusetzen" ist eine ganz schlechte Angewohnheit bei der Überprüfung auf Konvergenz einer Reihe, solltest du dir gar nicht erst angewöhnen.

Bei der ersten Reihe sieht man nach der Umformung, dass es sich bei den Partialsummen um Teleskopsummen handelt, diese haben sehr schöne Eigenschaften, nämlich dass sich fast alle Summanden gegenseitig elliminieren.

Schreib dir doch mal für $\begin{eqnarray*} n\in\{2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ die Partialsummen auf, sprich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac 1k - \frac 1{k+1}\right) \end{eqnarray*}$ und dir sollte etwas auffallen.

09.07.2011, 12:05

Rosch

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also da hab ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} .... \end{eqnarray*}$

wenn ich das richtig sehen dann heben sich die Brüche auf bis auf
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

09.07.2011, 12:13

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

So meinte ich das nicht ganz.

Berechne $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac 1k - \frac 1{k+1}\right) \end{eqnarray*}$ , wobei du jeweils(!) für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine andere Zahl einsetzt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^2 \left(\frac 1k - \frac 1{k+1}\right)=\dots,~\sum\limits_{k=1}^3 \left(\frac 1k - \frac 1{k+1}\right)=\dots,~\sum\limits_{k=1}^4 \left(\frac 1k - \frac 1{k+1}\right) \end{eqnarray*}$

Es hebt sich viel weg, aber was bleibt jeweils stehen?

09.07.2011, 12:22

Rosch

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich hoffe ich habe dich jetzt richtig verstanden

Für n=2

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Für n=3

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Für n=4

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Was nun?

09.07.2011, 12:42

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
Es hebt sich viel weg, aber was bleibt jeweils stehen?

Das ist einer der schönen Eigenschaften der Teleskopsummen. Für ein festes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ erhält man für die Partialsummen dann die angegebene Darstellung und kann dafür dann leicht den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ bilden.

09.07.2011, 12:45

Rosch

Auf diesen Beitrag antworten »

ja die 1 bleibt stehen. Das ist ja in dem Fall sehr simple. Jedoch hatte ich noch nie die Teleskopsumme gelernt. Bis dato kannte ich den Begriff garnicht.

Ich danke dir sehr für deine hilfe!

09.07.2011, 13:06

Rosch

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mich gerne nochmal an meiner Ursprünglichen Aufgabe versuchen.

Ich habe mal versucht daraus die Teleskopsumme zu bilden

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{2n + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

09.07.2011, 13:08

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Du wirst da keine Teleskopsumme draus bilden können. unglücklich

unglücklich

09.07.2011, 13:14

Rosch

Auf diesen Beitrag antworten »

traurig

traurig

traurig

Das ist die Stelle an der ich sagen muss: Ich hasse Mathe! Big Laugh

Big Laugh

09.07.2011, 13:17

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Bloß weil es kein gängiges Kochrezept für jede Aufgabe gibt, keine Formel die man einfach drauf schmeißt und ein Ergebnis geliefert bekommt? verwirrt

verwirrt

09.07.2011, 13:42

Rosch

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, das ist der Frust der aus mir spricht.

Aber wie kann ich dennoch beweisen das diese Reihe divergent ist.

Ich hab jetzt gelernt das ich mit dem Quotientenkrit. eine (absolute?) Konvergenz nachweisen kann gedoch keine Aussage über eine Divergenz machen kann.
Wenn das Quotienenkriterium fehlschlägt soll man das Wurzelkrit. benutzen, allerdings sagt diese auch nichts über eine Divergenz.
Das ist jetzt der Punkt an dem ich nicht weiss was ich machen soll.

09.07.2011, 13:45

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Quotienkriterium macht durchaus Aussagen zur Divergenz einer Reihe, allerdings sind sowohl Quotienten- als auch Wurzelkriterium machtlos bei den harmonischen Reihen.

Das weitere Vorgehen hängt von deinem Vorwissen ab, du könntest ähnlich wie im Workshop vorgehen und die Divergenz der gegebenen Reihe recht elementar nachweisen, einfacher geht es mit dem Minorantenkriterium oder dem Cauchyschen Verdichtungskriterium.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »