Lagrange-Multiplikator - Abstand von Fläche

08.07.2011, 23:16

Lagrange-Multiplikator - Abstand von Fläche

Abend allerseits...
Habe die Aufgabe, wo ich einen ANsatz habe, aber dessen Lösung nicht sinnvoll ist :P

Zitat:

Berechne mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren die Punkte auf der Fläche
$\begin{eqnarray*} x^2+2y^2-z^2-1=0 \end{eqnarray*}$
die vom Ursprung den kleinsten Abstand haben.

Die Funktion lautet:
$\begin{eqnarray*} L=f-\lambda _0 \phi \end{eqnarray*}$

Dabei ist die Nebenbedingung, also das $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ dass es auf der Fläche liegt.

Meine beiden Ansätze:
Die funktion, die es zu minimieren gilt, ist der Abstand. Der Abstand ist nun die Länge des Vektors, der ihn beschreibt. Also entweder (x,y,z) oder halt der Abstand von der Fläche, minus (0,0,0).
Die Fläche hätt ich jetzt komponentenweise nach jeweils (x,y,z) aufgelöst und dann davon den Betrag genommen.

sprich:
$\begin{eqnarray*} f_1(x)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}<br /> f_2(x)=\sqrt{(1+z^2-2y^2)+(\frac{1+z^2-x^2}{2})+(x^2+2y^2-1)} \end{eqnarray*}$

Aber bei beiden komm ich auf (0,0,0) aber der liegt gar nciht auf der Fläche..habe ich vllt was falsch gemacht?

11.07.2011, 15:37

mYthos

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Statt die Wurzel direkt (den Abstand) zu minimieren, kann auch das Extremum des Quadrates aufgesucht werden, das ist eine günstige Vereinfachung.

Du hast dann wahrscheinlich das System der 3 Gleichungen (unter der Berücksichtigung der Nebenbedingung) nicht korrekt aufgelöst.

Der Lagrange'sche Ansatz

$\begin{eqnarray*} L(x, y, z, \lambda) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda(x^2 + 2y^2 - z^2 - 1) \end{eqnarray*}$ zeitigt die drei Gleichungen

$\begin{eqnarray*} (1): 2x(1 + \lambda) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2): 2y(1 + 2\lambda) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3): 2z(1 - \lambda) = 0 \end{eqnarray*}$
----------------------------------

Aus (1) folgt $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ , dabei muss nun x nicht mehr Null sein, jedoch y und z wegen der anderen beiden Gleichungen, in denen der Klammerausdruck dabei NICHT Null ist:

$\begin{eqnarray*} y = 0; \ z = 0, \ x = \pm 1 \ \text{(aus der Nebenbedingung!)} \end{eqnarray*}$

Verfahre nun ebenso mit der Gleichung (2) und dann mit (3), wobei die letztere keine Lösung zeitigt (warum?). Aus den beiden in Frage kommenden relativen Extrempunkten ist jener mit dem absolut kürzeren Abstand zu nehmen.

mY+

11.07.2011, 18:06

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Ah ok.
ich bin von den bisherigen Aufgaben mit Lagrange - Multiplikatoren immer davon ausgegangen, dass alle partiellen Ableitungen gleichzeitig gelten müssen.

So macht das dann Sinn.

Dann habe ich also folgende Lösungen.
$\begin{eqnarray*} \lambda = -1, y=z=0, x= \pm 1<br /> \lambda = -\frac{1}{2}, x=z=0, y=\pm \sqrt {\frac{1}{2}}<br /> \lambda = - 1, x=y=0 z= \pm i \end{eqnarray*}$

Und den Teil mit

Zitat:

Aus den beiden in Frage kommenden relativen Extrempunkten ist jener mit dem absolut kürzeren Abstand zu nehmen.

verstehe ich nicht unglücklich

Ist etwa gemeint, dass ich für die ersten beiden relativen Punkte (also wo y=z=0 und x=z=0) ist nochmal die Länge berechne und dann schaue, welcher kürzer ist?

11.07.2011, 18:15

mYthos

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Sicher. Es gibt ja zwei (relative) Extrema und du willst ja jenes mit dem kürzesten Abstand.
(Die Prüfung auf Extrema ist jedenfalls ohnehin erforderlich ... Hesse-Matrix, ... )

Und: Die gezeigte Methode tut der Tatsache keinen Abbruch, dass die partiellen Ableitungen gleichzeitig gelten müssen. Das müssen sie natürlich schon.
Und sie tun dies auch, nur musst du noch das jeweils dazu gültige $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hinzunehmen.

mY+

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