Differentialgeometrie: Drehfläche skizzieren und Teil der Oberfläche berechnen

09.07.2011, 13:02	Skaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgeometrie: Drehfläche skizzieren und Teil der Oberfläche berechnen Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Gegeben sei eine Drehfläche $\begin{eqnarray} f(u,v)= (\cos(u) \cos(v), \cos(u) \sin(v), u) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u \in \mathbb{R}/ \{\frac{\pi}{2} + \pi \cdot \mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ a) Skizzieren Sie die Fläche und bestimmen Sie die erste Fundamentalform von f b) Berechnen Sie die Oberfläche jenes Teils von f, der zwischen den beiden Knoten $\begin{eqnarray} u= \pm \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ liegt. Meine Ideen: zu a) Also ich habe bei der Aufgabe a schon die 1. Fundamentalform bestimmt. Dazu habe ich das Skalarprodukt der partiellen Ableitungen jeweils berechnet und kam auf: $\begin{eqnarray} g_{ij}= \begin{pmatrix} (sin²(u)) & 0 \\ 0 & cos²(u) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Probleme habe ich beim Skizzieren der Fläche. Ich weiß dass eine Drehfläche entsteht indem man eine reguläre ebene C²-Kurve um die z-Achse rotiert. Sie kann also z.B. aussehen wie eine Kugel, ein Ring der nach außen gewölbt ist (bei konstanter positiver Gaußkrümmung), ein Ring der nach innen gewölbt ist (bei konstanter negativer Gaußkrümmung) oder viele mehr. Ich weiß aber nicht wie ich von meinem f(u,v) auf das Aussehen dieser Drehfläche schließen kann. zu b) Ich habe das Flächenelement dA berechnet, komme aber dann mit dem Integral nicht weiter. $\begin{eqnarray} dA=\sqrt{det (g_{ij})}dudv= \sqrt{(sin²(u)+1\cdot cos²(u)}dudv \end{eqnarray}$ Das Integral lautet nun ja: $\begin{eqnarray} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \! (\cos(u) \cos(v),(\cos(u)\sin(v), u) \, \cdot cosu \sqrt{sin²(u)+1} dudv \end{eqnarray}$ . Aber hier komme ich nicht weiter. Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte... lg

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