Hyperfläche: Gibt es da eine allg. Formel dazu?

09.07.2011, 13:08	Skaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hyperfläche: Gibt es da eine allg. Formel dazu? Meine Frage: Hallo, meine Aufgabe lautet: Gegeben sei eine Hyperfläche f in $\begin{eqnarray} \mathbb{R^n} \end{eqnarray}$ . a) zeigen Sie: die erste und die zweite Fundamentalform von f ist bewegungsinvariant. Meine Ideen: mein Problem ist nun, dass ich zur Berechnung der 1. und 2. Fundamentalform doch eine Formel für die Hyperfläche brauche. In meinem Aufschrieb habe ich leider nur Formeln für spezielle Hyperflächen wie z.B. die n-Sphäre gefunden aber irgendwie keine allgemeine. Wenn ich eine allgmeine Formel hätte könnte ich die 1. Fundamentalform ja über die Berechnung der Skalarprodukte der partiellen Ableitungen herausbekommen... Also: Gibt es da eine allgemeine Formel und wenn ja wo kann ich sie finden oder wie lautet sie? Vielen Dank schon mal im Voraus. Skaa
11.07.2011, 13:09	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hyperflächen sind "Flächen", die in einen Raum eingebettet sind, dessen Dimension nur um 1 größer ist, als die Dimension dieser Fläche selbst. Folglich kann man Hyperflächen wie folgt darstellen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1 (\phi_1,\phi_2,...,\phi_{n-1}\\ ... \\ x_n(\phi_1,\phi_2,...,\phi_{n-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wesentlich ist also, dass man nur n-1 Flächenpparameter $\begin{eqnarray} \phi_1, \phi_2,...,\phi_{n-1} \end{eqnarray}$ hat, aber n Raumvariablen $\begin{eqnarray} x_1, x_2,...,x_n \end{eqnarray}$ Beispiel 1: Ein Einheitskreis in einer Ebene ist eine Hyperfläche, denn die Ebene wird durch n=2 Variablen beschrieben, aber der Kreis hat nur n-1=1 Parameter (z.B. den Polarwinkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beispiel 2: Die Oberfläche der Einheitskugel, die in den 3-dimensionalen Raum eingebettet ist, ist eine Hyperfläche, denn der Einbettungsraum wird durch n=3 Variablen beschrieben, aber der Kugeloberfläche hat nur n-1=2 Parameter (z.B. Längen- und Breitengrad). $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos(\phi_1)\cos(\phi_2) \\ \sin(\phi)\sin(\phi_2)\\ \cos(\phi_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

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