Lagrange Multiplikator

09.07.2011, 17:52

fanboy

Lagrange Multiplikator

Meine Frage:
Hi, habe folgende Frage bzw. Aufgabe:

Das Maximale Volumen eines Quaders berechnen, bei dem die Oberfläche 10m^2 ist. Dabei soll ich geignetes Extremalproblem mit Nebenbedingung und den Lagrangschen Multiplikator verwenden.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist erstmal, dass

F(x,y,z) = x*y*z

ist. Also das Volumen des Quaders. Die Nebenbedingung wäre doch das alle Seiten zusammen eine Fläche von 10m^2 haben. Also

2(x*y)+2(z*y)+2*(x*z)=10m^2.

Diese Funktion nenne ich einfach h. Um das jetzt mit den Lagrangschen Multiplikator auszurechnen, muss ich doch erstmal die Gradienten bestimmen. (Nabla Operator in Latex nicht vorhanden. Verwende N als Symbol für gradienten)

$\begin{eqnarray*} Nf =\begin{pmatrix} y*z \\ x*z \\ x*y \end{pmatrix} Nh= \begin{pmatrix} 2y+2z \\ 2x+2z \\ 2y+2x \end{pmatrix} ==> \begin{pmatrix} y*z \\ x*z \\ x*y \end{pmatrix} +\lambda *\begin{pmatrix} 2y+2z \\ 2x+2z \\ 2y+2x \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn das soweit korrekt ist, folgt jetzt mein Problem. Wie soll ich das in Abhängigkeit von Lambda bestimmen. x,y,z = 0 wäre eine Lösung, allerdings kann das nicht sein, weil die Nebenbedingung nicht erfüllt werden könnte.

11.07.2011, 10:56

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Null-Lösungen sind selbstverständlich auszuschließen, denn sie sind für die Aufgabe nicht relevant (sinnvoll).

Setze die Lagrange-Funktion so an (NB: xy + yz + xz = 5):

$\begin{eqnarray*} L(x, y, z, \lambda) = xyz - \lambda(5 - xy - yz - xz) \end{eqnarray*}$

Nach Nullsetzen der partiellen Ableitungen und Division der dabei entstehenden 3 Gleichungen in x, y, z, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ erhältst du x = z, x = y und mit Hilfe der Nebenbedingung schließlich $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
( $\begin{eqnarray*} x = y = z = 2 \lambda; \ \lambda = \ldots \end{eqnarray*}$ )

mY+

20.07.2011, 20:47

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei diesen Aufgaben ist zu beachten, dass neben den Nullstellen des Gradienten der Lagrangefunktion auch immer die zulässigkeit der Punkte, so wie [bei ungleichheitsrestriktionen] auch Forderungen an die Multiplikatoren gestellt werden.

Zitat:

2(x*y)+2(z*y)+2*(x*z)=10m^2.

Somit ist die Nulllösung hier keine Lösung, da sie die Nebenbedingung nicht erfüllt. Damit begründet sich auch modelhaft das, was Mythos ausgeschlossen hat.

Neue Frage »

Antworten »

Lagrange Multiplikator

Verwandte Themen