Konvergenz von Reihen Beweis

09.07.2011, 19:10

Kando

Konvergenz von Reihen Beweis

Meine Frage:
Guten Tag liebe Forumsmitglieder, ich hänge leider an dieser Aufgabe und mir fällt es schwer einen Ansatz zu finden.

b) Beweisen sie, dass die Reihe \sum\limits_{k=1}^n (a_{n+1}-a_n)
genau dann konvergiert , wenn die Folge a_n konvergent ist.

Meine Ideen:
Zunächst fällt es mir schwer einen Anfang zu finden. Zwar kenne ich verschiedene Konvergenzkriterien, jedoch weiß ich nicht wie ich diese auf eine Folge anwenden soll, die ich ja effektiv nicht besitze, da ich nur a_n gegeben habe.

Ein Gedanke von mir war , ob gilt, dass wenn a_n konvergiert auch a_{n+1} konvergent ist, jedoch gilt dies glaube ich nicht im allgemeinen.
Ein tipp wie man an die Sache rangeht wäre perfekt

danke im Vorraus
Kando

09.07.2011, 23:14

wdposchmann

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RE: Konvergenz von Reihen Beweis
Hi,

also bei "genau dann, wenn" Aussagen muss man ja immer beide Richtungen zeigen, sprich in diesem Falle:

(i) $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{n+1}-a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert.

(ii) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{n+1}-a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Zu (ii): Mit dem Quotientenkriterium liegst du sehr hier schon sehr gut! Es lautet für konvergente Reihen (und nach Annahme der Aussage ist dies ja der Fall) $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1 \end{eqnarray*}$ . Die einzige Gefahr besteht jetzt im Verwechseln, denn das n+1-te und n-te Folgenglied des Kriteriums sind ja nicht gleich denen, die in der Reihe stehen. Welche sind es dann? Und was kannst du dann mit dem Quotientenkriterium erreichen?

Zu (i): Gegen welchen Wert geht denn $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n \end{eqnarray*}$ , wenn die Folge konvergiert? Und was passiert dann mit der Reihe?

LG

10.07.2011, 14:12

Kando

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RE: Konvergenz von Reihen Beweis
zunächst mal vielen Dank für deine Antwort

in der Richtung ( i ) kann ich doch aber nicht sagen, dass wenn a_n konvergiert
die Reihe a_n+1 - a_n gegen 1 konvergiert , oder?

mfg

Kando

10.07.2011, 14:46

Kando

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RE: Konvergenz von Reihen Beweis
Hi,
und zwar habe ich auch zur Rückrichtung ( ii ) eine Frage.

wenn ich sage, dass
$\begin{eqnarray*} | \frac{a}{a_n+1} | < 1 \end{eqnarray*}$
wenn ich nun dies für meine Reihe anwende erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-{a_n}} | < 1 \end{eqnarray*}$
dann hab ich mir gedacht dass ich folgere, dass daraus
$\begin{eqnarray*} | a_{n+2} - a_{n+1} | < | a_{n+1} - a_n | \end{eqnarray*}$

reicht dies schon um darauf zu schließen, dass a_n konvergent sein muss, da
$\begin{eqnarray*} | a_{n+1} - a_n | < epsilon \end{eqnarray*}$
für alle a_{n+1}, a_n ?

10.07.2011, 16:05

wdposchmann

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RE: Konvergenz von Reihen Beweis
Hi,

zu (ii):

Genau das ist die Lösung, denn durch die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |a_{n+2}-a_{n+1}| < |a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ kannst du schließen, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+2} < a_n \end{eqnarray*}$ sein muss (da die Ungleichung sonst nicht erfüllt wäre). Und damit muss die Reihe konvergent sein.

zu (i):

Zitat:

in der Richtung ( i ) kann ich doch aber nicht sagen, dass wenn a_n konvergiert
die Reihe a_n+1 - a_n gegen 1 konvergiert , oder?

Das Ziel ist ja auch nicht, dass die Reihe gegen 1 geht, sondern lediglich, dass sie überhaupt konvergiert. Konstruiere dir doch selbst einmal ein/zwei Folgen, die konvergieren und schau was dann mit der Reihe passiert.

LG

10.07.2011, 16:09

tmo

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Ich muss hier leider eingreifen, denn die bisherigen Lösungsvorschläge sind keinesfalls korrekt.
Man kann bei solch einer Aufgabe das Quotientenrkriterium nicht gebrauchen, da es nur hinreichend, aber nicht notwendig ist.

D.h. nur weil eine Reihe konvergiert, heißt das nicht, dass die entsprechende Bedingung des Quotientenkriteriums erfüllt ist.

Vielmehr soll man bei dieser Aufgabe wohl den Begriff der Teleskopsumme kennen lernen.

Schreibe doch z.b. mal $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^5 a_{k+1}-a_k \end{eqnarray*}$ aus und gucke was alles wegfällt.
Verallgemeinere das dann für die obere Summengrenze n statt 5.

Wenn du das geschafft hast, ist die Aufgabe trivial.

10.07.2011, 16:23

Kando

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vielen dank für eure Antworten , ich habe das mit dem Quotientenkriterium relativ schnell aufgegeben und einen anderen Ansatz gewählt vllt ist dieser ja auch in ordnung

( ii ) sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } a_{n+1} - a_n \end{eqnarray*}$ konvergent, so ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ( a_{n+1} - a_n ) = 0 \end{eqnarray*}$
Somit ist dies eine Nullfolge und a_n ist konvergent.

Dieser Beweis lässt sich jedoch nicht äquivalent führen und somit fehlt mir die andere Richtung. Ist die Andere Richtung vllt mithilfe der Teleskopsumme möglich?

mfg

Kando

10.07.2011, 16:29

tmo

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Zitat:

Original von Kando
( ii ) sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } a_{n+1} - a_n \end{eqnarray*}$ konvergent, so ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ( a_{n+1} - a_n ) = 0 \end{eqnarray*}$
Somit ist dies eine Nullfolge und a_n ist konvergent.

Diese Folgerung geht so auch nicht.

Für $\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n \end{eqnarray*}$ auch eine Nullfolge, aber $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert sicher nicht.

Du solltest beide Richtungen mit der Teleskopsumme lösen.
Wenn du das mal durchziehst, wirst du sehen, dass beide Richtungen dann in einem Rutsch zu erledigen sind.

10.07.2011, 16:45

Kando

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ok ich habe das mit der Teleskopsumme ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{n+1} - a_n = a2 - a1 + a3 - a2 + ... + a_\infty - a_{\infty -1} \end{eqnarray*}$
dann bleibt ja übrig
$\begin{eqnarray*} a_\infty - a_1 \end{eqnarray*}$

kann man dann einfach im prinzip auch das unendlichkeitszeichen durch ein n ersetzen und dann wieder den Grenzwert dagegen bilden lassen? dann wärs ja

$\begin{eqnarray*} a_n - a_1 \end{eqnarray*}$ und daraus kann ich schließen , dass a_n konvergent sein muss damit dieser Ausdruck konvergiert und somit die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{n+1} - a_n \end{eqnarray*}$

10.07.2011, 21:03

wdposchmann

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Hi,

sorry, wollte hier niemandem nen falsche Lösungsweg unterjubeln. Hätte es selber so gelöst und habe es daher vorgeschlagen.

Den Grund habe ich jetzt auch verstanden.

@Kando: Wegen deiner Frage mit der Teleskopsummenberechnung kann ich dir leider nicht helfen. Viel Glück noch beim Lösen der Aufgabe.

11.07.2011, 08:24

tmo

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@Kando: Du musst erst sauber

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_{k+1}-a_k \end{eqnarray*}$

berechnen und danach mit dem Grenzwert argumentieren.

@wdposchmann: Kein Problem, es gibt ja genug Leute hier, die sowas jederzeit verbessern können. Allerdings ist es schon von Vorteil (vor allem bei so Allerwelts-Aufgaben), wenn man genau Bescheid weiß, bevor man jemandem helfen will.

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