kleine frage zur varianz bei zufallsvariablen

09.07.2011, 20:24

paco89

kleine frage zur varianz bei zufallsvariablen

also, hier meine frage....

wenn ich bspw. folgendes auflösen will: Var (X - 2 Y) , wobei das X und das Y Zufallsvariablen sind, dann passiert folgendes :

Var (X) - 4 Var (Y)

????? verwirrt

wieso wird der Koeffizient, also die zahl 2, quadriert ? ich ahne schon, dass der grund dafür ganz klar ist....allerdings lerne ich schon seit stunden für die stocha klausur und ich glaube so langsam sehe ich den baum vor lauter wäldern.. Hammer

.ach ne ich meine den wald vor lauter bäumen nicht......

über eine antwort würd ich mich sehr freuen.....

09.07.2011, 21:07

Math1986

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RE: kleine frage zur varianz bei zufallsvariablen

Zitat:

Original von paco89
wenn ich bspw. folgendes auflösen will: Var (X - 2 Y) , wobei das X und das Y Zufallsvariablen sind, dann passiert folgendes :

Var (X) - 4 Var (Y) .

Nein, das passiert gerade eben nicht unglücklich

Es passiert vielmehr:
$\begin{eqnarray*} Var (X - 2 Y)=Var(X+(-2)Y)=Var(X)+(-2)^2Var(Y)=Var(X)+4Var(Y) \end{eqnarray*}$
aber auch nur dann wenn die Zufallsvariablen unkorelliert sind.

Der Grund ist wirklich klar, wenn du ernsthaft auf eine Klausur lernst dann schau dir mal die grundlegenden Eigenschaften der Varianz an.

09.07.2011, 22:48

paco89

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jetzt bin ich noch verwirrter...also ich hab folgende aufgabe zu lösen....

Seien X und Y unkorrelierte Zufallsvariablen mit X -- R(-2, 4) und Y - Exp(1/2). Weiter seien
U = X - 2Y und V = 3 X + Y- 5 .

a) Bestimmen sie Var(U) und Var(V)

soweit so gut....also bei mir in der musterlösung steht folgendes:
es gilt:
Var X = 3
Var Y = 4

somit ergibt sich:

Var (U) = Var (X - 2Y) = $\begin{eqnarray*} 1^{2} \end{eqnarray*}$ · Var X + (-2)^2 · Var Y = Var X + 4 · Var Y = 3 + 16 = 19

da wird doch auch die 2 quadriert und das Y bleibt doch erhalten.....ich blick da nich mehr durch.....wieso wird überhaupt quadriert? und warum wird das Y bei dir zu einem X und bei mir in der musterlösung nicht?

09.07.2011, 23:02

Math1986

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Zitat:

Original von paco89

wieso wird überhaupt quadriert?

Noch einmal: Der Grund ist wirklich klar, wenn du ernsthaft auf eine Klausur lernst dann schau dir mal die grundlegenden Eigenschaften der Varianz an.

Zitat:

Original von paco89
und warum wird das Y bei dir zu einem X und bei mir in der musterlösung nicht?

Das war ein Schreibfehler.

09.07.2011, 23:45

paco89

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hab ich doch....ich find die erklärung nicht.....meine einzige vermutung ist, dass bei der varianz die einzelnen abstände der x werte vom arithmetischen mittel quardriert werden.....bei den zufallsvariablen ist es ja ja genauso...nur dass man große X 'e verwendet....wird das deshalb so gemacht ?

edit: also ich meinte, die formel die man einsetzt, um die varianz zu bestimmen....das klein sigma wird ja auch quadriert....ist es deshalb so? kannst du mir nicht vtl. einen hinweis geben?

weißt du, natürlich könnte ich jetzt hingehen und sagen: ich merke mir einfach, dass ich jedesmal wenn solch eine antwort kommt, die koeffizienten vor der varianz quadriere, aber etwas auswendig lernen gerade in der mathematik ist ja selbstmord....ich wills ja verstehen....ich hab alle definitionen bezgl. der varianz, die ich in meinem stocha buch gefunden habe aufgelistet...und blick da echt nicht durch....gegoogelt hab ich auch....und überall sehe ich verschiedene schreibweisen zur varianz....mal heist es : Var (X) = E(X²) - (E(X))² und woanders wiederum anders....

10.07.2011, 00:05

Math1986

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Zitat:

Original von paco89
hab ich doch....ich find die erklärung nicht.....meine einzige vermutung ist, dass bei der varianz die einzelnen abstände der x werte vom arithmetischen mittel quardriert werden.....bei den zufallsvariablen ist es ja ja genauso...nur dass man große X 'e verwendet....wird das deshalb so gemacht ?

Ja, damit hat es was zu tun.

Zitat:

Original von paco89
weißt du, natürlich könnte ich jetzt hingehen und sagen: ich merke mir einfach, dass ich jedesmal wenn solch eine antwort kommt, die koeffizienten vor der varianz quadriere

Genau so ist es auch

Zitat:

Original von paco89
gegoogelt hab ich auch....und überall sehe ich verschiedene schreibweisen zur varianz....mal heist es : Var (X) = E(X²) - (E(X))² und woanders wiederum anders....

Du findest beide Herleitungen dazu Varianz (Stochastik), deine beiden letzten Fragen werden da beantwortet

10.07.2011, 13:10

paco89

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okay, die herleitung bringt mich jetzt auch nicht mehr weiter.....ich werde es mir ma einfach merken, dass das ganze quadriert wird......

10.07.2011, 13:46

René Gruber

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Zitat:

Original von paco89
weißt du, natürlich könnte ich jetzt hingehen und sagen: ich merke mir einfach, dass ich jedesmal wenn solch eine antwort kommt, die koeffizienten vor der varianz quadriere, aber etwas auswendig lernen gerade in der mathematik ist ja selbstmord....ich wills ja verstehen....ich hab alle definitionen bezgl. der varianz, die ich in meinem stocha buch gefunden habe aufgelistet...und blick da echt nicht durch....gegoogelt hab ich auch....und überall sehe ich verschiedene schreibweisen zur varianz...

Man muss sich nicht viel "merken", solange es nur die wichtigen Punkte sind:

Zitat:

(1) $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X) = \operatorname{Cov}(X,X) \end{eqnarray*}$

(2) Die Kovarianz $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(\cdot,\cdot) \end{eqnarray*}$ ist aufgrund ihrer Definition

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X,Y) := E((X-E(X))(Y-E(Y))) \end{eqnarray*}$

ein bilinearer symmetrischer Operator (das folgt schlicht und einfach aus der Linearität des Erwartungswertoperators).

Damit folgt z.B. für beliebig (quadratisch integrierbare) Zufallszahlen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ sowie reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(aX+bY) &\stackrel{(1)}{=}& \operatorname{Cov}(aX+bY,aX+bY) \stackrel{(2)}{=} a^2\operatorname{Cov}(X,X) + 2ab\operatorname{Cov}(X,Y) + b^2\operatorname{Cov}(Y,Y) \\ &\stackrel{(1)}{=}& a^2\operatorname{Var}(X) + b^2\operatorname{Var}(Y) + 2ab\operatorname{Cov}(X,Y) \end{eqnarray*}$ .

Sind $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ zudem unkorreliert (z.B. wegen Unabhängigkeit), so folgt daraus

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(aX+bY) = a^2\operatorname{Var}(X) + b^2\operatorname{Var}(Y) \end{eqnarray*}$ .

11.07.2011, 01:49

dinzeoo

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Zitat:

mal heist es : Var (X) = E(X²) - (E(X))² und woanders wiederum anders....

$\begin{eqnarray*} Var(aX)=E((aX)^2)-(E(aX))^2=E(a^2X^2)-(aE(X))^2=a^2E(X^2)-a^2E(X)^2=a^2(E(X^2)-E(X)^2)=a^2Var(X) \end{eqnarray*}$

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