Eigenwerte der Matrix (a,b,c,d)

09.07.2011, 20:36	Jakob21	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte der Matrix (a,b,c,d) Hallo, Ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und mache ein paar Aufgaben durch, bei dieser einen wollte ich fragen, ob das so richtig ist. Also: Bestimmen Sie eine Formel für die Berechnung der Eigenwerte der Matrix A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b & \\ c & d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Also det(A-wE)=0, wobei w= EIgenwert beschreibt. 0= (a-w)(d-w)-bc --> (a-w)(d-w)=bc. Dann b) Wieso sind die Eigenwerte für jede Wahl von a,b,c,d Element der Reellen Zahlen, falls b=c gilt? Dann erhält man ja eine symmetrische Matrix und es würde für die Eigenwerte gelten: (a-w)(d-w)= $\begin{eqnarray} b^{2} \end{eqnarray}$ . Oder was für eine Begründung könnte man noch anführen? Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte LG, Jakob
10.07.2011, 12:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Formel ist noch nicht fertig. Mache eine quadratische Gleichung daraus, dann siehst du vielleicht etwas mehr.
10.07.2011, 14:30	Jakob21_	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, danke erstmal für die Antwort. Ich erhalten dann : $\begin{eqnarray} w^{2} \end{eqnarray}$ -aw-dw+ad-bc=0. --> ad-bc ist ja grad die Determinante von A. Also $\begin{eqnarray} w^{2}-aw-dw=-det(A) \end{eqnarray}$ Und nun könnte man noch zusammenfassen : $\begin{eqnarray} w^{2}-(a-d)w=-det(A) \end{eqnarray}$ . Und man könnte auch machen $\begin{eqnarray} w(w-a-d)=-det(A) \end{eqnarray}$ , wobei ich das obere besser finde. Oder stimmt das so nicht oder kann man noch was anderes machen? Liebe Grüße, Jakob.
10.07.2011, 14:46	Jakob1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahso, soll ich eine genaue Berechnung der Eigenwerte angeben? Also noch Mitternachsformel anwenden? Also w(1,2) = $\begin{eqnarray} \frac{a-d}{2}\pm \sqrt{\frac{( a-d}{2})^{2}-det(A)} \end{eqnarray}$ . LG, jakob.
10.07.2011, 14:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist das dann reell, wenn b=c ?
10.07.2011, 15:17	Jakob_	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil, wenn b=c gilt, steht dann unter der Wurzel $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{(a-d)^{2}}{4}+b^{2}} \end{eqnarray}$ und das ist immer >0. Stimmt das so? LG.
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10.07.2011, 18:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin nicht ganz sicher und würde dir empfehlen, das noch einmal nachzurechnen. Im Prinzip wird's schon stimmen.
10.07.2011, 21:30	Jakob_21	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dankeschön

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