120 Grad bei "Fermatpunkt"

09.07.2011, 22:09

120 Grad bei "Fermatpunkt"

Hallo

Ich würde gerne wissen, wie man herausgefunden hat, dass ein Punkt im Dreieck, bei dem die Summe der Abstände zu den Ecken minimal ist, jeweils diese drei 120 Grad-Winkel hat (Fermatpunkt)? Ich habe schon sehr viel herumgesucht und -probiert, finde aber nur immer die Meinung Grusons, der behauptet hat, dass die drei Winkel an diesem Punkt 120 Grad sein soll :/

Gibt es eigentlich auch Lösungen zu einem "Fematpunkt" in einem Körper? Würde mich mal interessieren ^^

LG

Kel 8)

09.07.2011, 23:15

https://mathe

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Hi, gleichseitige Dreiecke haben 3 60° große Winkel. Zeichnet man die jeweiligen Umkreise der Dreiecke, so schneiden sie sich paarweise in 2 Punkten, einer davon ist der Fermatpunkt. Die gleichseitigen Dreiecke kann man nun mit diesem Punkt zu Vierecken mit diesem Eckpunkt ergänzen. Alle Seiten dieses Vierecks sind Sehnen des jeweiligen Kreises - Und gegenüberliegende Winkel in einem Sehnenviereck ergänzen sich zu 180°.

-> 180°-60°=120°

\https//

09.07.2011, 23:26

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Danke für die Antwort smile

Nur kannte ich diese Tatsache; ich hab die Frage anscheinend etwas unglücklich gestellt smile

Ich wollte eher wissen, wieso denn nun genau bei diesem Punkt die Summe der Entfernungen minimal ist smile

09.07.2011, 23:42

riwe

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fermatpunkt

10.07.2011, 02:00

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Ah cool, vielen herzlichen Dank für eure Hilfe Augenzwinkern

Gute Nacht!

11.07.2011, 20:08

Schwierig

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Fermatpunkt in einem Körper? Müsste eigentlich möglich sein.
Vielleicht muss dieser "Fermatpunkt" im Raum auch im Winkel von 120° zu allen (mindestens 4) Punkten liegen.... verwirrt

11.07.2011, 20:45

riwe

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fermat im tetraeder

HAL 9000

12.07.2011, 08:17

peter*3

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Ich hätte auch noch ein Frage dazu:
Gibt es eine einfache Möglichkeit zu zeigen, dass bei einem gleichschenkligen Dreieck der Fermatpunkt auf der Mittelsenkrechten der "freien" Seite, also der Symmetrieachse des Dreiecks, liegt?
Bitte ohne darauf zurückzugreifen, dass die Winkel am Fermatpunkt 120° sind, das hatten wir nämlich nicht in der Schule.
(Dort hieß es auch nicht Fermatpunkt, sondern der Punkt, der Summe der Abstände zu den Ecken minimiert, aber soweit ich weiß ist das das gleiche).
Irgendwie scheint die Sache ja offensichtlich, aber wir sollen eine elementargeometrische Begründung suchen und da scheitere ich.

12.07.2011, 09:45

René Gruber

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Ja, man kann relativ einfach zeigen, dass jeder Punkt außerhalb dieser Mittelsenkrechte nicht optimal ist:

Sei $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ gleichschenklig mit $\begin{eqnarray*} |AC| = |BC| \end{eqnarray*}$ , also Basisseite $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ und deren Mittelsenkrechte $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ der Fermatpunkt dieses Dreiecks. Angenommen, es gelte nun $\begin{eqnarray*} F\not\in m \end{eqnarray*}$ , dann kann man von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ das Lot fällen und erhält Lotfußpunkt $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man zeigen $\begin{eqnarray*} |AF|+|BF| > |AG|+|BG| \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |CF| > |CG| \end{eqnarray*}$ , woraus $\begin{eqnarray*} |AF|+|BF| + |CF| > |AG|+|BG| + |CG| \end{eqnarray*}$ folgt, womit $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ der Minimaliät des Fermatpunktes $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ widerspricht.

13.07.2011, 15:04

Schwierig

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Zitat:

Original von riwe
fermat im tetraeder

HAL 9000

Das gilt leider nur bei 4 kongruenten Dreiecken. Wie sieht es denn mit 2 paarweisen kongruenten Dreiecken aus? Oder allgemein bei beliebiger Lage der 4 Punkte? verwirrt

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