Jordan Messbarkeit

09.07.2011, 22:27

DerKoso

Jordan Messbarkeit

Meine Frage:
Hey Brauch mal wieder eure hilfe^^

und zwar bei der aufgabe hier

In dieser Aufgabe wollen wir zeigen, dass die Menge
$\begin{eqnarray*} A := \left\{(x, y, z)\in \mathbb R^3 : y^2 +z^2 \leq 1 und x \in [-1, 1]\right\} \subseteq \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Jordan-messbar ist und ihren Jordan-Inhalt $\begin{eqnarray*} \mu(A) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Dazu wollen wir die Verallgemeinerung von Satz 15.14 (defi. steht unten)
benutzen.

a) Was beschreibt die Menge A geometrisch

b)Geben Sie eine Jordan-messbare Menge $\begin{eqnarray*} B \subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und Riemann-integrierbare Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1 , f_2 : B \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f_1(x,y) \leq f_2(x,y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x, y) \in B \end{eqnarray*}$ an, so dass

$\begin{eqnarray*} M(f_1, f_2) := \left\{f(x, y, z) \in \mathbb R^3 : (x,y) \in B und f_1(x,y) \leq z \leq f_2(x,y) \right\} = A \end{eqnarray*}$
gilt.

c)Folgern Sie aus (b), dass A Jordan-messbar ist.

hier die Definition von Satz 15.14

Satz 15.14 Sei $\begin{eqnarray*} B \subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ Jordan-messbar, $\begin{eqnarray*} f : B \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar und $\begin{eqnarray*} f \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} M(f) \subseteq \mathbb R^{n+1} \end{eqnarray*}$ Jordan-messbar, und es gilt

$\begin{eqnarray*} \mu(M(f)) = \int_B \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
hab schon ne weile rum probiert aber ich versteh einfach denn satz 15.14 nicht, habt ihr vielleicht ein beispiel oder eine andere Difinition wie man den satz besser verstehen könnte ?

zu denn Aufgaben

a) es ist ein Kreis oder ? mit radius 1
b) was meinen die mit $\begin{eqnarray*} f_1 f_2 \end{eqnarray*}$ meinen
die vielleicht denn rand der funktion?
c) ohne (b) kein c ^^
(aber glaub das die funktion jordan - messbar ist da es ein Geschlossens Intervall gibt und da die randfunktionen 0 sind)

10.07.2011, 12:45

DerKoso

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hat keiner ein Beispiel^^

10.07.2011, 17:04

DerKoso

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RE: Jordan Messbarkeit
sind meine Ideen wenigstens richtig ?

Zitat:

Original von DerKoso
Meine Frage:
Hey Brauch mal wieder eure hilfe^^

und zwar bei der aufgabe hier

In dieser Aufgabe wollen wir zeigen, dass die Menge
$\begin{eqnarray*} A := \left\{(x, y, z)\in \mathbb R^3 : y^2 +z^2 \leq 1 \text { und } x \in [-1, 1]\right\} \subseteq \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Jordan-messbar ist und ihren Jordan-Inhalt $\begin{eqnarray*} \mu(A) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Dazu wollen wir die Verallgemeinerung von Satz 15.14 (defi. steht unten)
benutzen.

a) Was beschreibt die Menge A geometrisch

b)Geben Sie eine Jordan-messbare Menge $\begin{eqnarray*} B \subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und Riemann-integrierbare Funktionen
$\begin{eqnarray*} f_1 , f_2 : B \to \mathbb R \text { mit }<br /> f_1(x,y) \leq f_2(x,y) \text { für alle } (x, y) \in B \text{ an, so dass } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M(f_1, f_2) := \left\{f(x, y, z) \in \mathbb R^3 : (x,y) \in B \text { und } f_1(x,y) \leq z \leq f_2(x,y) \right\} = A \text { gilt.} \end{eqnarray*}$
gilt.

c)Folgern Sie aus (b), dass A Jordan-messbar ist.

hier die Definition von Satz 15.14
$\begin{eqnarray*} \text { Satz 15.14 Sei } B \subseteq \mathbb R^n \text { Jordan-messbar,} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f : B \to \mathbb R \text { Riemann-integrierbar und } f \geq 0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \text{ Dann ist } M(f) \subseteq \mathbb R^{n+1} \text { Jordan-messbar, und es gilt } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu(M(f)) = \int_B \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
hab schon ne weile rum probiert aber ich versteh einfach denn satz 15.14 nicht, habt ihr vielleicht ein beispiel oder eine andere Difinition wie man den satz besser verstehen könnte ?

zu denn Aufgaben

a) es ist ein Kreis oder ? mit radius 1
b) was meinen die mit $\begin{eqnarray*} f_1 f_2 \end{eqnarray*}$ meinen
die vielleicht denn rand der funktion?
c) ohne (b) kein c ^^
(aber glaub das die funktion jordan - messbar ist da es ein Geschlossens Intervall gibt und da die randfunktionen 0 sind)

10.07.2011, 17:31

gonnabphd

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Hi,

zu a): Fast. A ist aber ein dreidimensionaler Körper und nicht nur der Kreis $\begin{eqnarray*} y^2 + z^2 \le 1 \end{eqnarray*}$

zu b): Wenn man die Menge anschaut, sieht man, dass für z gelten muss $\begin{eqnarray*} 1-y^2\ge z^2 \end{eqnarray*}$ , was sind also untere und obere Schranken für z in Abhängigkeit von y?

10.07.2011, 18:26

DerKoso

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a) liege ich mit einen elliptischen Zylinder richtig ?

b) meinst du es so in etwa ?

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{1-y^2} \leq z \leq \sqrt{1-y^2} \end{eqnarray*}$

hab mich noch bisschin Informiert

stimmt das so in etwa^^

$\begin{eqnarray*} \mu(M(A)) = \int_B \! f_2 (x,y) - f_1 (x,y) \, d(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_B \! \sqrt{1-y^2} + \sqrt{1-y^2} \, d(x,y) \end{eqnarray*}$

EDIT: danke für deine Antwort hätte ich glatt vergessen^^

10.07.2011, 19:37

gonnabphd

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Zitat:

a) liege ich mit einen elliptischen Zylinder richtig ?

Ein Zylinder ist es, irgendwie elliptisch ist er auch, aber die meister Leute nennen das ganz Runde Dingens einen Kreis, also einfach ein Zylinder (mit Kreis als Grundfläche).

Zitat:

b) meinst du es so in etwa ? $\begin{eqnarray*} -\sqrt{1-y^2} \leq z \leq \sqrt{1-y^2} \end{eqnarray*}$

Ja, genau. Auch zu deinem anderen Vorschlag habe ich nichts einzuwenden.

Gruss Wink

10.07.2011, 19:48

DerKoso

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danke für deine antwort

hab aber noch eine frage
muss ich das intervall von x noch ihrgend wie beachten so in etwa ?

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! \int_B \! \sqrt{1-y^2} + \sqrt{1-y^2} \, dy dx \end{eqnarray*}$

11.07.2011, 14:42

DerKoso

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zu c) kann ich dann einfach jetzt sagen das A Jordan - messbar ist weil b) gilt ?

12.07.2011, 12:58

jyc1985

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Hi,
Die Einheitskreisscheibe (x,y)€R^2:x^2+y^2<=1 ist Jordan-messbar! Satz 15.7

12.07.2011, 13:01

jyc1985

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und ich habe auch eine Frage!

Wenn ich diese Funktion integriere, kommt bei mir pi raus!

Aber die Volumen dieses Zylinders ist 2pi! Grundfläche pi* Höhe 2

Woran liegt das, das das die beiden Ergebnisse nicht gleich sind?

12.07.2011, 21:05

gonnabphd

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Zitat:

Woran liegt das, das das die beiden Ergebnisse nicht gleich sind?

Daran dass du falsch gerechnet hast, vermutlich. Vielleicht hast du B auch falsch gewählt. Es sollte

$\begin{eqnarray*} B = [-1, 1]\times [-1, 1] \end{eqnarray*}$

sein.

12.07.2011, 23:06

DerKoso

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$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! \int_{-1}^{1} \! \sqrt{1-y^2} + \sqrt{1-y^2} \, dy dx = 2\pi \end{eqnarray*}$

hab nachgerechnet stimmt oder auch eine lösung $\begin{eqnarray*} V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 1 \cdot 2 = 2\pi \end{eqnarray*}$

oder auch wie du es gerechnet hast, hast ja die Grundfläsche nur berechnet jetzt musst nur noch mal höhe berechnen

hab auch ziemlich ziemlich lange gebraucht das $\begin{eqnarray*} B = [-1,1]^2 \end{eqnarray*}$ ist^^

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