Volumenberechnung von Kegelschnitten

09.07.2011, 20:53	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenberechnung von Kegelschnitten Hallo zusammen, habe - leider - schon wieder große Fragezeichen in den Augen. Habe mir zwar kurz überlegt ob ich einfach im Thema das ich gestern hier gepostet habe weiterschreibe, dachte dann aber, dass das eventuell nicht gut sein könnte, da die Themen nicht wirklich übereinstimmen. So, jetzt aber zu meinem eigentlichen Problem: Gegeben seien die Mengen $\begin{eqnarray} A:=\{(x,y,z)\|0\le z \le 1,x^2+y^2\le(1-z)^2\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B:=\{(x,y,z)\|z\le cx+d\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c,d \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Aufgabe ist es, das Volumen von $\begin{eqnarray} A \cap B \end{eqnarray}$ in Abhägigkeit von $\begin{eqnarray} c,d \end{eqnarray}$ zu berechnen. Was ich mir bisher überlegt habe ist folgendes: Menge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist ein Kegel und Menge $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ stelle ich mir als "Rampe" vor (es ist die Menge der Punkte, die unter der Ebene $\begin{eqnarray} E=\{(x,y,z)\|z=cx+d\} \end{eqnarray}$ liegt) Ich wollte fünf Fälle unterscheiden: Schnitt ist leer Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ verläuft so, dass sie den "Kegelboden" schneidet Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ verläuft so, dass sie die Mantelfläche schneidet, aber $\begin{eqnarray} c \ne 0 \end{eqnarray}$ Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ verläuft so, dass sie über dem Kegel liegt und ihn nicht schneidet, d.h. der Schnitt ist der Kegel $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ Für den Fall $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ erhalte ich Kegelstümpfe in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ deren Volumen ich einfach berechnen kann Ich muss nur noch $\begin{eqnarray} c >0 \end{eqnarray}$ betrachten, denn für $\begin{eqnarray} c<0 \end{eqnarray}$ kann ich die Figur an der yz-Ebene spiegeln und bekomme so wieder $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ bei unverändertem Volumen Es gilt $\begin{eqnarray} 0 \le z \le \mathrm{min}\{1,1-\frac{1-d}{1+c}\} \end{eqnarray}$ , denn ich kann ja den Schnitt der beiden Mengen mit der xz-Ebene betrachten, dann ist der Kegelmantel durch die Gleichung $\begin{eqnarray} z=1-x \end{eqnarray}$ und die Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ durch die Gleichung $\begin{eqnarray} z=cx+d \end{eqnarray}$ beschrieben Wenn ich den Flächeninhalt des Schnittes auf einer Höhe $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ bestimmt habe (natürlich in Abhängigkeit von der Höhe $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ), kann ich über diesen Flächeninhalt integrieren und ich bin fertig Beim letzten Punkt habe ich jedoch Schwierigkeiten. Wie bestimme ich die Fläche des Kreissegmentes auf der Höhe $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ? Wenn ich das machen kann habe ich ja alle Fälle abgedeckt, denn in Fall 3 setzt sich der Schnitt dann aus einem Kegelstumpf und einer Menge wie vorher betrachtet zusammen. Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte. Bin mir nämlich nicht mal sicher, ob ich auf dem richtigen Weg bin. Dankeschön Mandelbrötchen

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