additionstheorem gleichung lösen

10.07.2011, 00:27

knopf

additionstheorem gleichung lösen

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,

ich habe hier eigentlich ein einfaches Gleichungssystem, welches ich mit Hilfe des Additionstheorems
$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha + \beta ) = \cos(\alpha ) \cos(\beta ) - \sin(\alpha ) \sin(\beta ) \end{eqnarray*}$
sozusagen zum Kosinussatz umformen soll, aber ich krieg das irgendwie nicht hin.
Obwohl ich das Ergebnis kenne, komme ich nicht auf die richtigen Schritte, sodass bei mir auch das gewünschte Ergebnis rauskommt.
Ich wäre für jede Hilfe dankbar (und ich habe die Frage in kein anderes Forum gestellt).

Meine Ideen:
Die beiden Gleichungen lauten

$\begin{eqnarray*} H \cos(\gamma ) = F1 \sin(\alpha ) + F2 \sin(\beta ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H\sin(\gamma)= -F1\cos(\alpha ) + F2\cos(\beta ) \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis soll werden:

$\begin{eqnarray*} H^{2} = F1^{2} + F2^{2} - 2F1F2\cos(\alpha + \beta ) \end{eqnarray*}$

H und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ sind die Unbekannten und mit Hilfe von quadrieren und addieren sollte man zum Ziel kommen. Komme ich aber nicht unglücklich

Danke schon mal für jeden Tip!

10.07.2011, 00:37

Dopap

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ich würde beide Gleichungen quadrieren und dann addieren. Links würde schon mal stimmen...

10.07.2011, 09:58

riwe

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Zitat:

Original von Dopap
ich würde beide Gleichungen quadrieren und dann addieren. Links würde schon mal stimmen...

rechts auch Augenzwinkern

10.07.2011, 11:59

knopf

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danke, dass ihr euch das anseht, aber ich fürchte ich bräuchte das ein wenig ausführlicher.
ich habe das mit addieren und quadrieren versucht, bin aber nicht zum richtigen ergebnis gekommen. ich denke, dass ich das mit dem quadrieren, bzw. addieren wohl nicht richtig mache unglücklich

sorry!

10.07.2011, 12:23

polynom2007

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Hi,

wie gesagt du musst beide Seiten erst quadrieren und dann beide Gleichungen zusammen addieren: z.B

1. $\begin{eqnarray*} a=b+c \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} a=2b+3c \end{eqnarray*}$

beide quaddrieren:

1. $\begin{eqnarray*} a^2=(b+c)^2 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} a^2=(2b+3c)^2 \end{eqnarray*}$

zusammen addieren:

1. $\begin{eqnarray*} 2a^2=(b+c)^2+(2b+3c)^2 \end{eqnarray*}$

Danach musst du bei deiner Gleichung die Eigenschaft ausnutzen das
$\begin{eqnarray*} \cos(x)^2+\sin(x)^2=1 \end{eqnarray*}$ ist.
Du musst also nach dem zusammen addieren derart ausklammern , dass du dir dieses zu nutzen machen kannst

10.07.2011, 13:38

knopf

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ok, dass habe ich jetzt mal ausprobiert, aber bei mir ist immer noch der wurm drin.
wenn ich das anwende, dann kommt bei mir

$\begin{eqnarray*} H^{2} = F1^{2} + F2^{2} \end{eqnarray*}$ raus. das kann ja nicht stimmen, oder!?

tut mir leid...das ich mich gerade so schwer tue. Erstaunt2

10.07.2011, 14:00

Dopap

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ich habe einen ( schrecklichen ) Verdacht:

hast du Rechts etwa $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ verwendet?

Das wäre der 2. häufigst praktizierte Fehler, nach dem Klassiker:
-3 zum Quadrat = -3^2

10.07.2011, 14:53

polynom2007

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Nach dem zusammen addieren müsstest du folgendes raushaben:

$\begin{eqnarray*} H^2(cos(\gamma )^2+\sin(\gamma)^2)=F_1^2\sin(\alpha)^2+2F_1F_2\sin(\alpha)sin(\beta)+F_2si<br /> n(\beta)^2+F_1^2\cos(\alpha)^2-2F_1F_2\cos(\alpha)cos(\beta)+F_2\cos(\beta)^2 \end{eqnarray*}$

dann mit mit $\begin{eqnarray*} \sin(x)^2+\cos(x)^2=1 \end{eqnarray*}$ arbeiten.
und dann mkannst du auch dein Additionstheorem anwenden und du erhältst das Ergebnis

10.07.2011, 16:05

knopf

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oh ja!
dopap du hast recht. oh man.(wirklich blöd)
ich hatte dann keine binomische formel raus! jetzt hab ich's bei polynom2007 auch sofort gesehen!
vielen, vielen dank! Blumen

manchmal verzweifelt man ja, wenn man dann den fehler nicht findet, - und oft sind es dann wirklich blöde fehler.
also danke, danke...!

10.07.2011, 16:23

Dopap

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na dann ist das ja auch geschafft!

Jetzt wird dir das bestimmt nie mehr passieren. Immer dran denken, dass es kaum Funktionen oder Operatoren gibt, die linear sind.

$\begin{eqnarray*} \sqrt {a+b} \neq \sqrt a + \sqrt b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin ({a+b}) \neq \sin a + \sin b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {a+b} \neq \frac 1 a + \frac 1 b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log ({a+b}) \neq \log a + \log b \end{eqnarray*}$

....

Manche Funktionen können in die Summe "einbrechen" , das erhält dann aber eigene Namen wie Additionstheorem ober Binomische Formel... Wink

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