Bilder abgeschlossener Mengen unter f sind abgeschlossen

10.07.2011, 13:30	BubbleB	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilder abgeschlossener Mengen unter f sind abgeschlossen Meine Frage: Hallo, Sei $D \subset \mathbb{R}^N$ offen und $f: D \rightarrow \mathbb{R}^N$ stetig. Ferner gebe es ein c>0, sodass $\|\|f(x)-f(y)\|\| \geq c \|\|x-y\|\|$ für alle $x,y \in D$. Zu zeigen: Bilder abgeschlossener Mengen unter $f$ sind abgeschlossen. Meine Ideen: Möglicherweise funktioniert das irgendwie über: Zu $(y_n) \subset W \subset \mathbb{R^N}$ mit $W$ abgeschlossen und $y_n \rightarrow y \in W$ existiert eine Folge $(x_n) \subset D$ die dann auch in D konvergiert. Weiß aber nicht wie die Argumentation gehen könnte... Gruß
10.07.2011, 13:35	CPBach	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Frage: Hallo, Sei $\begin{eqnarray} D \subset \mathbb{R}^N \end{eqnarray}$ offen und $\begin{eqnarray} f: D \rightarrow \mathbb{R}^N \end{eqnarray}$ stetig. Ferner gebe es ein $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \|\|f(x)-f(y)\|\| \geq c \|\|x-y\|\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y \in D \end{eqnarray}$ . Zu zeigen: Bilder abgeschlossener Mengen unter $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sind abgeschlossen. Meine Ideen: Möglicherweise funktioniert das irgendwie über: Zu $\begin{eqnarray} (y_n) \subset W \subset \mathbb{R^N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ abgeschlossen und $\begin{eqnarray} y_n \rightarrow y \in W \end{eqnarray}$ existiert eine Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \subset D \end{eqnarray}$ die dann auch in D konvergiert. Weiß aber nicht wie die Argumentation gehen könnte... Gruß
12.07.2011, 12:23	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, mein Vorschlag: Widerspruchsbeweis: Angenommen, das Bild einer abgeschlossenen Menge M sei unter f nicht abgeschlossen. Dann gibt es einen Wert a, der nicht in f(M) liegt, für den aber gilt: Es gibt eine Folge x(n) in M, deren Funktionswerte f(x(n)) gegen a konvergieren. Nun zwei Fälle unterscheiden: 1. Diese Folge befindet sich innerhalb einer beschränkten Menge M2. 2. Diese Folge ist nicht beschränkt, es gibt also keine beschränkte Menge M2, die alle Folgenglieder von x(n) enthält. Darauf aufbauend weiter und einen Widerspruch ableiten Gruß Christian

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