Normalen Vektor von Ebene in Koordinatenform

10.07.2011, 20:09	Exporus	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalen Vektor von Ebene in Koordinatenform Hallo, Wir nehmen grade den Normalen Vektor in der Schule durch. Nun habe ich eine Frage, wenn ich den Normalen Vektor einen Ebene in Koordinatenform aufstelle übernehme ich bekannter weise die Faktoren vor den Koordinaten. $\begin{eqnarray} ax+by+cz=d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wieso ist dies so? Ich habe ehrlich gesagt keine Idee
10.07.2011, 20:55	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir dazu mal die Normalengleichung einer Ebene an. Entscheidend ist hier der Ansatz über das Skalarprodukt.
10.07.2011, 21:59	Exporus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mitleidvolle einen anderen Ansatz gefunden. Aber trotzdem interessiere mich weiter für deinen Ansatz. Auch wenn ich ihn noch nicht verstanden habe. Meine Überlegungen: $\begin{eqnarray} (\vec{x} -\vec{p} )\vec{n} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x_1-p_1)+n_1 + .....=0 \end{eqnarray*}$ Wobei P ein Fester Punkt ist und X ein Beliebiger in der Ebene
11.07.2011, 01:06	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich hast du schon fast alles Wichtige genannt. Nur falsch aufgelöst hast du. Grundgedanke ist, dass X genau dann ein Punkt der jeweiligen Ebene ist, wenn die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{x}-\vec{p}=\vec{PX} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ senkrecht zueinander stehen, ihr Skalarprodukt also null wird. Es gilt im Dreidimensionalen also z.B. folgendes: $\begin{eqnarray} (\vec{x} -\vec{p} ) \cdot \vec{n} = 0 <=> \vec{x} \cdot \vec{n} - \vec{p} \cdot \vec{n}=0 <=> \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}=0 <=> ... \end{eqnarray}$

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