Paraboloid Schwerpunkt

10.07.2011, 22:55	JürgenV	Auf diesen Beitrag antworten »
Paraboloid Schwerpunkt Meine Frage: Sei G Teil des Paraboloids $\begin{eqnarray} \left\{(x,y,z)\| x^{2}+y^{2}\leq z\right \} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\geq 0, y\geq 0, 0\leq z\leq 2 \end{eqnarray}$ . Berechne die Koordinaten des Schwerpunkts von G mit Massendichte $\begin{eqnarray} \rho(x,y,z)=x \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich habe die Aufgabe soweit gelöst - nur bin ich mir absolut nicht sicher, ob ich die Vorgehensweise richtig verstanden und damit die Aufgabe richtig bearbeitet habe. Deswegen wäre ich dankbar, wenn jemand kurz Zeit findet, noch einmal drüber zugucken. Zunächst habe ich den Körper als Drehkörper in Zylinderkoordinaten beschrieben: $\begin{eqnarray} 0\leq z\leq 2, 0\leq r\leq\sqrt{z}, 0\leq\phi \leq2 \end{eqnarray}$ Als erstes braucht man ja die Masse des Körpers: $\begin{eqnarray} M = \int_K \! \rho(\vec{r} \,) d(x,y,z) \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} M = \int_0^{2\pi} \!\int_0^{2} \!\int_0^{sqrt(z)} \! \rho(\vec{r} \,)r d(r,z,\phi) \end{eqnarray}$ wobei doch $\begin{eqnarray} \rho = x = sqrt(z) \end{eqnarray}$ Rechne ich das jetzt weiter erhalte ich: $\begin{eqnarray} M = \pi \int_0^2 \! z^{3/2} \, dz = \frac{8}{5} \sqrt{2} \pi \end{eqnarray}$ Die Formel für die einzelnen Schwerpunktkoordinaten ist: $\begin{eqnarray} S_{x} = \frac{1}{M} \int_K \! x\rho(\vec{r} \,) d(x,y,z) \end{eqnarray}$ Auf Grund der Symmetrie sind die x- und y-Koordinaten des Schwerpunktes doch gleich oder? Dort sah das Integral bei mir so aus: $\begin{eqnarray} S_{x} = \frac{1}{M} \int_0^{2\pi} \!\int_0^{2} \!\int_0^{sqrt(z)} \! zr d(r,z,\phi) = \frac{1}{M} \pi \int_0^2 \! z^2 \, dz = \frac{5}{3\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} x\rho(\vec{r} \,)d(x,y,z) = \sqrt{z} \sqrt{z} rd(r,z,\phi) \end{eqnarray}$ Und für die z-Koordinate: $\begin{eqnarray} S_{z} = \frac{1}{M} \int_0^{2\pi} \!\int_0^{2} \!\int_0^{sqrt(z)} \! z^{3/2} r d(r,z,\phi) = \frac{1}{M} \pi \int_0^2 \! z^{5/2} \, dz = \frac{5}{8\pi\sqrt{2} }\frac{28\pi\sqrt{2}}{7}= \frac{10}{7} \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} z\rho(\vec{r} \,)d(x,y,z) = z \sqrt{z} rd(r,z,\phi) \end{eqnarray*}$ Wie siehts aus? Habe ich mich völlig verfahren oder sind diese krummen Ergebnisse wirklich der Schwerpunkt des Paraboloids?

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