Abbildung von Mengen

11.07.2011, 15:32

antjeprincipessa

Abbildung von Mengen

Meine Frage:
Hi liebe Forums-Gemeinde,
habe noch eine Aufgabe bei der ich nicht klar komme. Diesmal geht es um eine Abbildung von Mengen. Also eine ganze Menge wird auf eine Menge abgebildet. ich soll zeigen, dass die Abbildung injektiv ist.
Hier mal die Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} f:A\rightarrow B \end{eqnarray*}$ eine Abbildung. Definiere
$\begin{eqnarray*} F:\mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(B) \end{eqnarray*}$
(Hier ist die Potenzmenge gemeint)
$\begin{eqnarray*} S \mapsto f(S) \end{eqnarray*}$
Beweisen Sie: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow F \end{eqnarray*}$ ist injektiv.

Meine Ideen:
Also ich muss den Beweis auf jedenfall von beiden Seiten aus machen. Ich muss wohl zunächst annehmen, dass F injektiv ist und zeigen, dass dann auch f injektiv ist und andersrum, oder? Kann ich das einfach annehmen? Und wie führe ich dann den Beweis??????

11.07.2011, 17:45

antjeprincipessa

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kann mir niemand helfen????? Ist das so schwer oder bin ich nur zu dämlich:-(

11.07.2011, 18:00

kiste

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Zitat:

Ich muss wohl zunächst annehmen, dass F injektiv ist und zeigen, dass dann auch f injektiv ist und andersrum, oder?

Ja.

Der Beweis an sich ist eigentlich nur lockeres Ausschreiben der Definition, eigene Ideen brauchst du wenig.

13.07.2011, 16:47

antjeprincipessa

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Hallo Kiste,
danke für die Antwort. Ich habe mir schon gedacht, dass der Beweis nicht allzu schwierig sein muss. Allerdings stoße ich jetzt nochmal an meine Grenzen:-( Wo kommt denn die Menge S her???? Ist das ne Untermenge der Potenzmenge von A?

13.07.2011, 17:23

kiste

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S ist ein Element von P(A).

Fange mal mit F injektiv => f injektiv an und betrachte die Bilder von Mengen der Form {x}

15.07.2011, 09:33

antjeprincipessa

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Nachdem du mir so sehr mit der anderen Aufgabe geholfen hast, ist es ja schon peinlich, dass ich mal wieder frage, aber so einfach scheint es jetzt ja doch nicht zu sein. Ich finde einfach keinen Ansatz. Wenn ich zeigen will, dass $\begin{eqnarray*} F injektiv \Rightarrow f injektiv \end{eqnarray*}$ weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll......
ich kann ja einfach mal annehmen, dass gilt: $\begin{eqnarray*} s_1, s_2 \in P(A) \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} F(s_1)=F(s_2)\Rightarrow s_1=s_2 \end{eqnarray*}$ . D.h. F ist injektiv. aber wie weiter??????wie zeige ich jetzt, dass f dann auch injektiv ist????

15.07.2011, 10:18

René Gruber

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Zitat:

Original von kiste
Der Beweis an sich ist eigentlich nur lockeres Ausschreiben der Definition, eigene Ideen brauchst du wenig.

Etwas konkretisiert: Es ist legitim, für $\begin{eqnarray*} s_1,s_2 \end{eqnarray*}$ simple Einermengen zu wählen...

15.07.2011, 10:26

antjeprincipessa

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D.h., wenn es Einermengen sind, dann sind die Elemente der Potenzmenge gleich der Elemente der Menge??? Also wenn $\begin{eqnarray*} x\in P(A) \end{eqnarray*}$ dann ist x auch in A oder?

15.07.2011, 10:49

René Gruber

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Zitat:

Original von antjeprincipessa
dann sind die Elemente der Potenzmenge gleich der Elemente der Menge???

Nein, das habe ich damit nicht gesagt. unglücklich

Es besteht ein gravierender Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \{x\}\in \mathcal{P}(A) \end{eqnarray*}$ (was dasselbe ist) einerseits und $\begin{eqnarray*} x\in \mathcal{P}(A) \end{eqnarray*}$ andererseits!!!

Nochmal: Ich gebe dir nur den Hinweis, dass du die laut Voraussetzung gültige Eigenschaft

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(s_1)=F(s_2)\Rightarrow s_1=s_2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} s_1,s_2\in \mathcal{P}(A) \end{eqnarray*}$

auch speziell für Mengen $\begin{eqnarray*} s_1=\{x_1\},s_2=\{x_2\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in A \end{eqnarray*}$ anwenden darfst.

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