Spektralsatz Beispiel Verständnis

11.07.2011, 16:56	Pustefix91	Auf diesen Beitrag antworten »
Spektralsatz Beispiel Verständnis Guten Tag, in meinem Skript steht folgendes: "Sei $\begin{eqnarray} A \in M(n, \mathbb K) \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} A = A^{} \end{eqnarray}$ . Dann ist A normal und das Charakteristische Polynom zerfällt in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ in Linearfaktoren. Dann hat A nur reelle Eigenwerte und es gibt eine Matrix $\begin{eqnarray} S \in S \in O(n) \end{eqnarray}$ (im Fall $\begin{eqnarray} \mathbb K = \mathbb R \end{eqnarray}$ ) bzw. $\begin{eqnarray} S \in U(n) \end{eqnarray}$ (im Fall $\begin{eqnarray} \mathbb K = \mathbb C \end{eqnarray}$ ) mit $\begin{eqnarray} S^{}AS = \end{eqnarray}$ Diagonalmatrix mit nur Eigenwerten in der Diagonalen. Also: Hermitesche Matrizen sind diagonalisierbar und haben nur reelle Eigenwerte." Ich dachte dies gilt nur in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ?! Aber hier unterscheidete man explizit zwischen $\begin{eqnarray} \mathbb K = \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb K = \mathbb C \end{eqnarray}$ . Zerfällt denn das Charakteristische Polynom auch in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ in seine Linearfaktoren? Falls ja, woraus folgt dies? Falls nein, ich dachte das dies Voraussetzung sein müsste damit der Spektralsatz überhaupt gültig ist?! Bin hier leider (hoffentlich nur) etwas verwirrt . Würde mich freuen, wenn mir das jemand erklären könnte. Schönen Gruß Pustefix91
11.07.2011, 19:13	Pustefix91	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir da niemand weiterhelfen?
12.07.2011, 11:00	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Für jede selbstadjungierte Matrix A lässt sich eine unitäre Matrix S finden, so dass $\begin{eqnarray} S^AS \end{eqnarray*}$ eine reelle Diagonalmatrix wird. Dabei darf A natürlich auch komplexe Matrixelemente haben, womit auch die unitäre Matrix S im Allgemeinen komplex sein wird. Wenn A jedoch reell ist (=Spezialfall), dann sind auch die Matrixelemente von S reell. Man spricht dann nicht mehr von einer unitären, sondern von einer orthogonalen Matrizen. Eigentlich muss man diesen Spezialfall gar nich separat behandeln, weil er schon im komplexen Fall enthalten ist. Wichtig ist aber, dass die Eigenwerte von selbstadjungirten Matrizen A stets reell sind, auch wenn komplexe Matrixelemente enthalten sind.

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