Lineares Gleichungssystem lösen

11.07.2011, 17:02

butterfly33

Lineares Gleichungssystem lösen

Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:

[attach]20521[/attach]

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?? Ich weiß einfach nicht wie ich da Gaußen soll......

11.07.2011, 17:05

lgrizu

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RE: Lineares Gleichungssystem lösen
Zuerst einmal die Matrix aufschreiben, und dann geeignete Zeilenoperationen wählen, du kannst a so behandeln als wäre es eine Zahl.

11.07.2011, 17:09

butterfly33

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kannst du mir mal zeigen,wie ich da genau vorgehen muss??Damit ich mir sicher sein kann was die richtige LSG ist.Wäre echt lieb smile

11.07.2011, 17:11

lgrizu

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Die Matrix aufzuschreiben wirst du doch selbst erst mal hinbekommen, bei geeigneten Operationen kann ich dir dann helfen.

Die ersten Umformungen um in der ersten Spalte erst einmal Nullen unter dem führenden Element zu erzeugen sollte auch kein Problem sein, mach das erst mal und poste dein Ergebnis.

11.07.2011, 17:28

butterfly33

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also ich würde es jetzt so machen :

x1 x2 x3
------------------------------------
5 (4-a) 1 /a

10 2a 10 /0

5 (4-a) (1+a) /1

11.07.2011, 17:35

lgrizu

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Einmal als Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}5&4-a&1&|a\\10&2a&10&|0\\5&4-a&1+a&|1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Welche Zeilenoperationen schlägst du vor?

11.07.2011, 17:43

butterfly33

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ich würde versuchen nach a umzustellen,was wahrscheinlich Blödsinn ist...oder?

11.07.2011, 17:47

lgrizu

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Jap, du sollst doch das LGS lösen, hier wendet man Gauß an, Ziel ist es, möglichst unterhalb oder oberhalb der Diagonalen Nullen zu erzeugen durch geeignete Zeilenoperationen.

Nun schauen wir uns die erste Spalte einmal an, wenn man die zweite Zeile vom 2-fachen der ersten Zeile subtrahiert und die letzte Zeile von der ersten subtrahiert hat man auf jeden Fall schon mal in der ersten Spalte Nullen unterhalb der Diagonalen erzeugt, dass diese Operationen bereits ausreichen sehen wir daran, dass die ersten beiden Einträge der ersten und der dritten Zeile gleich sind.

11.07.2011, 17:51

butterfly33

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oder eifnach anfangen zu Gaußen

1.) 5 4-a 1 / a
2.) 10 2a 10 /0
3.) 5 4-a 1+a /1
---------------------------------------
1.)5 4-a 1 /a
2. 0 -6 8 /-2a
3.)0 0 a /-a

11.07.2011, 18:03

lgrizu

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Was auch immer du hier getan hast.....

die Zeilenumformungen habe ich dir bereits gesagt, rechnen musst du schon selbst.

Multipliziere die erste Zeile mit -2 und ziehe dann die zweite Zeile von der ersten ab, was erhälst du?

11.07.2011, 18:09

butterfly33

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0 -8+4a 8 /-2a

11.07.2011, 19:09

butterfly33

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also ich habe das hier raus :

1.) 5 (4-a) 1 /a
2.) 0 -8+4a 8 /2a
3.) 0 0 a /-a+1

ist es soweit richtig?? Ich weiß,ich stelle mich ziemlich dumm an....aber wie lautet das volsltändige ergebnis? Es ist echt wichtig,ich brauche nur eine Aufgabe als Bsp. um die anderen dann zu machen. Bitte smile

12.07.2011, 00:00

lgrizu

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Eine vollständige Lösung werde ich dir nicht geben, das widerspricht auch unserem Prinzip.

bei 2.) sollte -2a im Lösungsvektor stehen, bei 3.) 1+2a.

12.07.2011, 11:47

butterfly33

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ok,das wusste ich nciht,weil ich neu hier bin.

also,dann habe ich jetzt

1.) 5 / (4-a) / 1 / a
2.) 0 / -8+4a/ 8 /-2a
3.)0 / 0 / a / 1+2a

muss ich nun die 3. Reihe rückwärts auf die Gleichung beziehen? also 0x1+0x2+ax3=1+2a...oder auch ax3=1+2a.....stimmt das so? Kann man das noch weiter vereinfachen?

12.07.2011, 11:55

lgrizu

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Genau, die dritte Zeile liefert uns $\begin{eqnarray*} ax_3=1+2a \end{eqnarray*}$ .

Jetzt überlegen wir einmal, für welche a hier keine Lösung für x_3 existiert.

12.07.2011, 12:11

butterfly33

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Für Fall 1 a=1 habe ich dann 1x3= 1+2(1) also x3= 3 raus ,alle Fälle a >0 = 1 Lösung für a<0= auch 1 Lösung

....,ist das mit dieser Fallunterscheidung gemeint?

nur was ich grade bemerkt habe,was ich cniht verstehe. Beim Gaußen von der 1.) mit der 3. Reihe rechne ich eine von beidem *(-1) ist doch in dem Fall egal welche,oder?? wenn ich die 1.) *(-1) rechne bekomme ich das heraus
1.) -5 / (-4+a) / -1 / /-a
+

3.) 5 / (4-a) / (1+a) //1
_________________________________
0 / 0 / a //1-a

und wenn ich die 3.) mit *(-1) rechne bekomme ich das hier raus : 0/0/-a//a+1 also wieso komme ich nicht auf die //1+2a??

12.07.2011, 12:20

lgrizu

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Man sieht dass gilt $\begin{eqnarray*} x_3=\frac{1+2a}{a} \end{eqnarray*}$ .

Wir erhalten also für a=0 keine Lösung des LGS, aber für alle $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist das LGS eindeutig lösbar (jedenfalls, wenn wir erst mal die dritte Zeile betrachten).

Nun setze einmal $\begin{eqnarray*} x_3=\frac{1+2a}{a}, a \neq 0 \end{eqnarray*}$ in die zweite Zeile ein und löse nach x_2 auf, was erhälst du?

12.07.2011, 12:31

lgrizu

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Sorry, hab mich verrechnet, bin in Zeile 2 und 3 durcheinandergekommen, ist richtig, letzte Zeile ist (0,0,a,1-a).

Also ist $\begin{eqnarray*} x_3=\frac{1-a}{a} \end{eqnarray*}$ .

12.07.2011, 12:32

butterfly33

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achso ok,dann versuche ich damit weiter zu rechnen

12.07.2011, 12:41

butterfly33

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ok das wird wohl nicht stimmen. hab dan jetztin der 2. zeile für x3= 1-a/a eingesetzt.
-8+4ax_2+8( 1-a/a)= -2a
-8 +4ax_2+ 8-a/8a= -2a

ich habe dann x_2 = -14 raus.....

12.07.2011, 12:46

lgrizu

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Wir setzen einmal $\begin{eqnarray*} x_3=\frac{1-a}{a} \end{eqnarray*}$ in die 2. Zeile ein und erhalten die Gleichung $\begin{eqnarray*} (8-4a) \cdot x_2-8 \cdot \left(\frac{1-a}{a} \right)=2a \end{eqnarray*}$

Wenn wir das nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auflösen sollten wir $\begin{eqnarray*} x_2=\frac{2a+8 \cdot \left(\frac{1-a}{a} \right)}{8-4a} \end{eqnarray*}$ erhalten.

12.07.2011, 12:57

butterfly33

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ich hätte jetzt (-8+4a)x_2 +8*(1-a/a) =2a genommen,wieso ändern sich die Vorzeichen plötzlich??

12.07.2011, 13:00

lgrizu

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Zitat:

Original von butterfly33
ich hätte jetzt (-8+4a)x_2 +8*(1-a/a) =-2a genommen,wieso ändern sich die Vorzeichen plötzlich??

Da fehlt ein Vorzeichen, wenn wir beide Seiten der Gleichung mit (-1) multiplizieren erhalten wir mein Ergebnis, es bleibt sich also gleich.

Aber wenn es dir lieber ist: $\begin{eqnarray*} x_2=\frac{-2a-8 \cdot \left(\frac{1-a}{a} \right)}{4a-8} \end{eqnarray*}$

12.07.2011, 13:10

butterfly33

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achso ok,also dient das nur der Vereinfachung,das muss ich dann in x1 einsetzen?? zusammen mit x3?

12.07.2011, 13:12

lgrizu

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Wir schauen uns erst mal an, ob wir "neue" Einschränkungen für a erhalten, welchen Wert/Werte darf a hier denn nicht annehmen, damit das LGS eindeutig lösbar bleibt?

12.07.2011, 13:23

butterfly33

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a ungleich2 weil dann der Nenner 0 wäre

12.07.2011, 13:31

lgrizu

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Genau, was passiert, wenn a=2 ist, haben wir da keine Lösung für das LGS oder unendlich viele?

Hätte man dieses Ergebnis auch "durch genaues hinschauen" erhalten können?

12.07.2011, 13:52

butterfly33

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ich würde sagen keine,weil ein bruch mit 0 im nenner gibt es nicht

wie sieht es mit der 1 aus? bei 1 wäre es -4 im Nenner

12.07.2011, 14:13

lgrizu

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Das ist richtig, es existiert keine Lösung für a=2.

Wir hätten uns dazu auch einmal den zweiten Eintrag in der zweiten Zeile unserer Matrix anschauen können, dieser ist -8+4a, setzen wir diesen gleich 0 erhalten wir a=2, betrachten der Matrix für a=2 liefert:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}5&2&1&|2\\0&0&-8&|4\\0&0&2&|1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Hier liefert die zweite Zeile $\begin{eqnarray*} x_3=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und die dritte Zeile $\begin{eqnarray*} x_3=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , also besitzt das LGS für a=2 keine Lösung.

Für a=1 erhalten wir die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}5&3&1&|1\\0&4&-8&|2\\0&0&-1&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , was uns die eindeutige Lösung $\begin{eqnarray*} x_3=0, x_2=\frac{1}{2}, x_1=-\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ .

Negativ werden darf der Nenner ruhig, nur verschwinden darf er nicht.

12.07.2011, 14:34

butterfly33

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okay und wie fasse ich das berechnete in eine Lösung zusammen? L=( a ungleich 0) 2 keine Lösung ,a=1 eindeutige Lösung?? wie muss man das zum Schluss formulieren,damit es als Lösung ausreicht? Die x1,x2,x3 definiert hinschreiben,das hat man ja schon nach der Rechnung das müsste reichen,aber die Lösungsmenge der für a einsetzbaren Zahlen,wie definiert man die? Sowas wie alle reellen Zahlen außer 0 ??

12.07.2011, 15:40

butterfly33

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oder ist das schon die ausreichende Lösung??

12.07.2011, 17:05

lgrizu

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Das LGS hat keine Lösung für a=0 und a=2, für welche a hat es eine eindeutige Lösung, für welche a ist es nicht eindeutig lösbar?

13.07.2011, 11:05

butterfly33

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also für a0 2 und a=0 keine LSG und für a=1 eine Eindeutige LSG und für alle R-Zahlen unendlich???

13.07.2011, 12:28

lgrizu

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Für a=0 und a=2 existiert keine Lösung. Warum nimmst du ein beliebiges a=1?

Und vor allem warum a=1?

Das LGS ist auch eindeutig lösbar für $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ oder füt a=2,39 oder $\begin{eqnarray*} a = \pi \end{eqnarray*}$ .

Unendlich viele Lösungen existieren, wenn es ein a gibt, mit dem du in der erweiterten Matrix eine Nullzeile bilden kannst, in diesem Fall müsste man eine Unbekannte parametrisieren, existiert ein solches a?

13.07.2011, 14:56

butterfly33

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mh..ok also a= 0 und a=1 haben wir dann erledigt,wie ist es
mit allen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ also unendlich viele?

13.07.2011, 16:48

lgrizu

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Ich verstehe deinen letzten Post nicht.....

Wir haben ausgerechnet, dass keine Lösung existiert für a=0 und a=2.

Warum hälst du dich an dem Fall a=1 so fest, sicherlich ist das LGS für a=1 eindeutig lösbar, aber nun zum wiederholten Mal meine Frage, für welche a es noch eindeutig lösbar ist, für welche a es unendlich viele Lösungen gibt?

Die Antwort sollte in etwa so anfangen: "Für a=....... existieren unendlich viele Lösungen, für a=..... existiert keine Lösung, für alle anderen a ist das LGS eindeutig lösbar."

13.07.2011, 17:40

butterfly33

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Ich habe festgestellt,dass ich x3 vergessen habe zu berechnen.

Ich habe damit Probleme,....habe es aber versucht. unglücklich

[attach]20558[/attach]

Dann noch eine Verständnisfrage.woran genau prüfe ich,welche Zahlen eine eindeutige LSG oder unendlich viele Lösungen bringt? Mach ich das Stufenweise,erst bei dem Ergebnis für x3,wenn es da funktioniert bei x2 einsetzen und wenn es da funktioniert bei x1?? Wenn es bei x3 schon nicht funktioniert,brauche ich es für x2,x1 garn icht mehr ausprobieren??

13.07.2011, 17:51

lgrizu

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Das habe ich alles bereits geschrieben.

Das LGS hat eindeutige Lösungen für alle a aus IR, für die gilt a ungleich 0 und 2, in Mengen ausgedrückt: $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \setminus \left\{0,2\right\} \end{eqnarray*}$ .

Unendlich viele Lösungen hat das LGS, wenn eine Nullzeile erzeugt wird, auch das habe ich bereits geschrieben, das ist hier nicht möglich, also existiert kein a, für das das LGS unendlich viele Lösungen besitzt.

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