Zerlegung Splines

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17.12.2006, 12:12

Oc86

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Zerlegung Splines

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich überhaupt nicht zurrechtkomme unglücklich

Könnten ihr mir vielleicht helfen unglücklich

Danke im Vorraus

Oc86

17.12.2006, 14:18

tigerbine

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RE: Zerlegung Splines
Vielleicht sollten wir erstmal klären womit Du nicht zurechtkommst.

- Weißt du was ein linearer Spline ist? Das steht ja auch in der aufgabe beschrieben

- Wie schreibt man in Monom-Darstellung ein lineares Polynom

- Welches Math. Gebilde bilden die C([a,b]), also die auf dem Intervall [a,b] stetigen Funktionen?

- wie weißt man allgemein einen Unterraum dieses Gebildes nach?

Damit solltest Du a) bearbeiten können.

- Durch wie viele Stützstellen (Knoten) und zugeh. Werte ist ein lineares Polynom eindeutig bestimmt?

Daraus folgt b)

- Kennst du das Kronecker-Delta? siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Delta

Damit sollte c) folgen

- welche Skalarprodukte kennst Du? Dir ist ja hier schon ein "inneres Produkt " gegeben.

- Was ist eine Orthonormalbasis?

Damit sollte d) folgen.

17.12.2006, 14:38

Oc86

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Hallo,

was lineare Splines sind, weiß ich von dieser Seite(http://www.mathematik.de/spudema/spudema_beitraege/beitraege/scheiffert/index.htm).
Was ist C([a,b])?
Kronecker-delta....nicht mal im Script davon was gefunden... unglücklich

Was ein Skalarprodukt und eine Orthonormalbasis ist, weiß ich !

Mein Problem ist bei dieser Aufgabe, das Sie Allgemein gehalten wurde....damit komm ich nicht zurecht... unglücklich

Oc86

17.12.2006, 14:44

tigerbine

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Lies doch bitte genau, was ich geschrieben habe.

Zitat:

C([a,b]), also die auf dem Intervall [a,b] stetigen Funktionen

(Vielleicht mal im skript der linearen Algebra nachschlagen Augenzwinkern

) , auch das Kapitel Untervektorraum könnte von Interesse sein.

Zitat:

Kennst du das Kronecker-Delta? siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Delta

auch hier steht schon der Link dazu.

Aber fangen wir bei a) an.

17.12.2006, 14:48

Oc86

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naja, zu Aufgabe a)
Eine lineare FUnktion ist ja eindeutig durch 2 punkte bestimmt ! x1/y1 und x2/y2. Und In dem Lineare Splines haben ja die Linearen Funktionen knoten punkten , an den sie beide stetig sind!! Aber wie zeige ich das jetzt allgemein ?

17.12.2006, 14:56

tigerbine

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Also aus der aufgabenstellung dürfen wir entnehmen, dass S eine Teilmenge von C([a,b]) ist, so dass wir uns um die Stetigkeit dieser linearen Splines zunächst mal keine Sorge machen müssen.

Nun solltest du mir die Frage beantworten, was für ein Gebilde ist C([a,b]). Sonst macht die Frage nach dem Teilraum wenig Sinn.

17.12.2006, 15:03

Oc86

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Sind das nicht die linearen Funktionen die in dem Intrevall [a,b] Definiert sind?Ebend von a=x1 bis ebend zum letzten Punkt xn=b?

Heißt das dann nicht, das z.b f1(x),f2(x) element von S ist, auch f1(x)+f2(x) element von S ist ???

17.12.2006, 15:07

tigerbine

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Irgendwie scheint Du mir nicht zuzuhören, oder?

C([a,b]) ist der Raum aller auf dem Intervall [a,b] stetigen Funktionen

http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit

ganz unten steht's und ich würde auch mal den Link "linearer Raum" lesen.

17.12.2006, 15:13

Oc86

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Ja, alle Lineare Funktionen im Intervall [a,b], die insgesamt stetig sind(auch an den Knotenpunkten) !

17.12.2006, 15:15

tigerbine

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Die Antwort lautet:

VEKTORRAUM

Wie zeigt man, dass eine Menge einen Untervektorraum bildet?

17.12.2006, 15:21

Oc86

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Naja Allemein wäre es ja, wenn W der Unterraum ist dann ist

u+v element von v wenn alle us und alle vs sind Elemente von W

und ein vielfaches von u ist element von W wenn alle us element von W ist

dann bedeutet es ja für die aufgabe das f1(x)+f2(x) element von S ein müsste oder ? und lamda mal f1(x) auch element von S ist !!

Aber das kann ich doch jetzt nicht so hinschreiben als lösung ???

17.12.2006, 15:32

tigerbine

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Ja, richtig. Nur sollst Du eben zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \text{Für alle }f,g \in S \Rightarrow f+g \in S \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Für alle }\lambda \in \mathbb R, f\in S \Rightarrow \lambda f \in S \end{eqnarray*}$

Mach Dir dabei bewußt, was Du eigentlich zeigen musst. Das Hauptmerkmal von S ist nicht die Stetigkeit, die wurde uns durch die Aufgabenstellung schon geschenkt, sondern dass es sich Stückweise lineare Polynomfunktionen handelt.

17.12.2006, 15:37

Oc86

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soll ich dafür einfach 2 lineare funktionen meiner wahl nehmen ??

17.12.2006, 15:40

tigerbine

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Nein, da wir kein Gegenbeispiel konstuieren wollen, halten wir das mal alles schön allgemein.

Welchen Raum bilden Polynomfunktionen? Der hat auch ein eigenes Symbol...Taucht oftmals bei Numerik, Interpolationspolynom auf.

_________________________________

Diese Eigenschaft werden wir dann einfach ausnutzen.

17.12.2006, 15:46

Oc86

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f : IR => IR

17.12.2006, 15:51

tigerbine

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Welchen Raum bilden Polynomfunktionen

war die Frage und nicht von wo nach wo bilden sie ab böse

Ich habe das z.B. hier Interpolation

schon mal geschrieben. Ich helfe Dir gerne, aber Du musst auch die Fragen beantworten, die ich stelle. Ich frag das ja nicht ohne Grund Augenzwinkern

17.12.2006, 16:02

Oc86

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Ich bin Dir auch SEHR DANKBAR smile

Ich will Mathematik durch verstehen lernen und nicht irgendwie durch "auswendig" lernen.
Deshalb finde ich es voll nett von dir , dass du mir nicht einfach die Lösung gibts, sondern mich an die Lösung heranführst smile

Hab deine Beitrag von deinem Link angeguckt smile

Hier müsstes es, wenn wir nur Funktionen ersten Grades haben, pi von 1 oder ?

17.12.2006, 16:14

tigerbine

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Ja, also es gilt hier für die Restriktionen der Splines (dass sind die Einschränkungen auf die Teilintervalle) dass sie in $\begin{eqnarray*} \Pi_1 \end{eqnarray*}$ liegen.

Wir müssen nun den Nachweis der beiden vorhin geposteten Eigenschaften (wobei wir villeicht auch erwähnen sollten, dass der Unterraum nicht leer ist Augenzwinkern

) auf jedem Teilintervall durchfürhen, um zu zeigen, dass wir wieder eine stückweise lineare Funktion erhalten, Stetig ist sie wegen der VR-Eigenschaft von C([a,b]).

Das sollte aber auch kein Problem sein, da die Restriktionen ja in $\begin{eqnarray*} \Pi_1 \end{eqnarray*}$ liege, was ein Vektorraum ist. Augenzwinkern

17.12.2006, 16:25

Oc86

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mhhh. Das heißt dann, das zwischen x1 und x2 eine funktion 1.grades ist und zwischen x2 und x3 auch eine funktion 1. grades (stetig) ? dann müsste zwischen x1 und x3 auch eine funktion erstes grades sein oder ??

siehe bitte anhang !

17.12.2006, 16:30

tigerbine

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Genau so sieht ein linearer Spline aus Freude

17.12.2006, 16:33

Oc86

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Wie zeige ich das jetzt Allgemein ??

Ich kann doch nicht einfach schreiben: zwischen x1 und x2 ist eine lineare funktion , zwischen x2 und x3 ist eine lineare funktion , dann ist auch zwischen x1 und x3 eine lineare funktion und das zeigen bis xn ..... mhhhh

17.12.2006, 16:52

tigerbine

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du siehst Den Wald vor lauter Bäumen nicht.

$\begin{eqnarray*} \text{Als Teilmenge von C([a,b]) sind die Elemente der Teilmenge S stetige Funktionen. Des weiteren gilt aufgrund der Vektorraumeigenschaft von C([a,b)], dass sowohl: } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{I: } f+g \in C([a,b]) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{II: } \lambda f \in C([a,b]) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{wieder stetige Funktionen auf dem Intervall[a,b] sind. Um nun zu zeigen, dass S ein Untervektorraum von C([a,b]) ist, müssen wir also nur die Abschgeschlossenheit} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{(Addition und Skalarmultiplikation) bzgl. der stückweisen Polynom-Gestalt (vom Grad 1) zeigen. Die machen wir Teilintervallweise und es genügt zu schreiben:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Für alle Teilintervalle } I_k, k= 1,..,n \text{ von [a,b] gilt: } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{|I_k}, g_{\|I_k} \in \Pi_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Wegen der VR Eigenschaft von } \Pi_1 \text{gilt: } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{I: } f_{|I_k}+g_{\|I_k} \in \Pi_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{II: } \lambda f_{|I_k} \in \Pi_1 \end{eqnarray*}$

17.12.2006, 16:58

Oc86

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so meinte ich das in etwa :=)
Reicht das wirklich , wenn ich das so hinschreibe ????

zu aufgabe b)

es ist doch so, das bei n Knotenpunkten (n-1) im Intervall C[a,b] lineare funktionen sind mit (n-1) Teilbereiche oder ?

17.12.2006, 17:29

tigerbine

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ich würde mal meinen, ja. Wenn deinem Prof noch was fehlt, wird es Dir der Korrektor sagen Augenzwinkern

zu b)

Zu n Knoten gibt es (n-1) Teilintervalle. also (n-1) Resstriktionen. Wann ist eine lineare Funktion eindeutig festgelegt? Durch vorgabe von 2 Wertepaaren (Satz üner Existenz und eindeutigkeit des Interpoationspolynoms). Desweiteren dürfte auch klar sein, dass ein Spline durch seine Restriktionen eindeutig bestimmt ist. Das jetzt mal schon hingeschrieben - fertig.

17.12.2006, 17:32

Oc86

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das heiss dann f(xi) = g(xi) aber f ist ungleich g oder ???

17.12.2006, 17:41

tigerbine

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Verstehe die Frage nicht.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{matrix} Rf_1 & \text{für } x\in [x_1,x_2] \\...\\Rf_{n-1} & \text{für } x\in [x_{n-1},x_n] \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Dabei sollten 2 Splines f,g wohl als gleich gelten, wenn für alle k = 1,...,n-1 gilt :

$\begin{eqnarray*} Rf_k=Rg_k \end{eqnarray*}$

Nun ist aber eine Restriktion $\begin{eqnarray*} Rf_k \end{eqnarray*}$ bereits durch 2 Punkte eindeutig bestimmt, also sind mit der vorgabe der Funktionswerte an den Splineknoten alle Restriktion eindeutig bestimmt, somit auch der Spline.

17.12.2006, 17:46

Oc86

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mit f(xi)=g(xi) meinte ich den Knotenpunkt zwischen den Teilbereichen !! und dann ist f ungleich g !!

Und wie du schon gesagt hast, ist der Teilbereich durch 2 Punkten bestimmt !! (eindeutigkeit lineare funktion ) Dann ist, wie du schon gesagt hast, S eindeutig sein oder ?

17.12.2006, 17:48

tigerbine

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Wenn $\begin{eqnarray*} f(x_i) = g(x_i) \end{eqnarray*}$ für alle i=0,...n dann sind die SPlines gleich.

17.12.2006, 17:51

Oc86

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Warum, laut der Zeichnung von mir ist z.b. bei x1 beide funktionen an dem punkt (linker teilbereich und rechter teilbereich) gleich ! Aber doch nicht alle splines ??? Verstehe ich da jetzt was falsch ?

17.12.2006, 17:54

tigerbine

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Machen wir mal malen nach Zahlen für Anfänger. Ich habe geschrieben, was auch die Aufgabenstellung sagt, dass ein linearer Spline eindeutig durch die Vorgabe der Funktionswerte an den splineknoten gegeben ist, oder dass wenn 2 lin. SPlines an den Splineknoten die gleichen Funktionswerte haben, sind sie gleich.

Versuch dochmal in deiner Zeichnung einen zweiten LinSpline zu zeichnen, der duch die Knotenpunkte geht, aber vom ersten verschieden ist. Augenzwinkern

17.12.2006, 18:04

Oc86

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ok, kapiert Freude

aufgabe c) mhh Kronecker-Delta hab mir mal deine Link angeguckt, so ganz hab ich das nicht verstanden !

s hoch i sind doch alle stetigen linearen Funktion im Spline? Wie Beweise ich , das sie eine Basis von S sind ???

17.12.2006, 18:10

tigerbine

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Mach mir doch nochmal ne skizze, wie Du denkst, dass diese Splines aussehen :-)

17.12.2006, 18:15

Oc86

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Müsste so sein !

17.12.2006, 18:24

tigerbine

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Mmh, des versteh ich jetzt nicht.

wir suchen uns aus der Menge S (der linearen Splines auf den Intervall [a,b] und der angegebenen Zerlegung) n spezielle heraus. Diese sind wie folgt definiert über die angabe der Funktionswerte an den splineknoten, wobei wir in b) festgestellt hatten, dass dadurch der Spline eindeutig bestimmt ist.

$\begin{eqnarray*} s^1(x_1) = 1, s^1(x_2) = ...=s^1(x_n)=0 \end{eqnarray*}$

Also neue skizze bitte.

_____________________________________________________________
habe nochmal was editiert, da ich dachte, dass es bei den Knoten von 0 bis n geht.

17.12.2006, 18:33

Oc86

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die grenzen sind zwischen a und b !

17.12.2006, 18:36

tigerbine

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Warum liest du nicht, was ich schreibe böse

Wir wollen den Basisspline $\begin{eqnarray*} s^1 \end{eqnarray*}$ zeichenen.

Der hat bei x1 den Funktionswert 1 und an den anderen Knoten den Wert 0. Also nochmal Augenzwinkern

17.12.2006, 18:43

Oc86

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aso, ich dachte du willst eine Zeichnung dazu !

Zitat:

Original von tigerbine
Machen wir mal malen nach Zahlen für Anfänger. Ich habe geschrieben, was auch die Aufgabenstellung sagt, dass ein linearer Spline eindeutig durch die Vorgabe der Funktionswerte an den splineknoten gegeben ist, oder dass wenn 2 lin. SPlines an den Splineknoten die gleichen Funktionswerte haben, sind sie gleich.

Versuch dochmal in deiner Zeichnung einen zweiten LinSpline zu zeichnen, der duch die Knotenpunkte geht, aber vom ersten verschieden ist. Augenzwinkern

17.12.2006, 18:51

tigerbine

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Jetzt ist es richtig. Freude

Aber auch für die andere Frage wäre deine Zeichnung falsch gewesen. Du hst die Funktion zwischen 2 Knoten gestückelt. Damit ist sie zwar noch ein linearer Spline, aber nicht mehr auf der vorgegebenen Zerlegung des Intervalls. Deine Restriktionen sind somit keine linearen Funktionen. Aber das will ich jetzt nicht weiter diskutieren. Frag das ggf. in deiner Übungsgruppe. Sonst werden wir ja gar nicht mehr fertig.

Mal bitte noch den $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ Basisspline.

17.12.2006, 18:53

Oc86

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so richtig ?

ich glaub jetzt habe ich die Kronecker-Delta verstanden !!

17.12.2006, 19:01

tigerbine

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Wie würde es in MyFairLady heissen? Mein Gott jetzt hat er's. Ich sehe mal über die verwirrende Grundzeichnung hinweg Augenzwinkern

Wenn schon mal die zerlegung eingescannt ist, malt sich ja schnel mal was drüber Augenzwinkern

Merk Dir dieses Bild gut. Ich linke Dir später noch was dazu!

Nun wissen wir, wie die Basissplines aussehen sollen. Bleibt die Frage, warum sie eine Basis bilden?

Der Nachweis ist zunächst ein wenig kniffelig, da wir genau überlegen müssen, was wir über den Vektorraum S (Untervektorraum von C([a,b])) schon wissen. Leider nicht viel. Noch nicht einemal, ob er endlich oder unendlich dimensional ist. Auch das Skalarprodukt wird erst im nächsten Punkt eingeführt.

Bleibt bur die Möglichkeit zu zeigen, dass sich jedes Element $\begin{eqnarray*} f \in S \end{eqnarray*}$ eindeutig aus $\begin{eqnarray*} s^1,...,s^n \end{eqnarray*}$ linear kombinieren lässt.

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