Zerlegung Splines |
17.12.2006, 12:12 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zerlegung Splines ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich überhaupt nicht zurrechtkomme Könnten ihr mir vielleicht helfen Danke im Vorraus Oc86 |
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17.12.2006, 14:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Zerlegung Splines Vielleicht sollten wir erstmal klären womit Du nicht zurechtkommst. - Weißt du was ein linearer Spline ist? Das steht ja auch in der aufgabe beschrieben - Wie schreibt man in Monom-Darstellung ein lineares Polynom - Welches Math. Gebilde bilden die C([a,b]), also die auf dem Intervall [a,b] stetigen Funktionen? - wie weißt man allgemein einen Unterraum dieses Gebildes nach? Damit solltest Du a) bearbeiten können. - Durch wie viele Stützstellen (Knoten) und zugeh. Werte ist ein lineares Polynom eindeutig bestimmt? Daraus folgt b) - Kennst du das Kronecker-Delta? siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Delta Damit sollte c) folgen - welche Skalarprodukte kennst Du? Dir ist ja hier schon ein "inneres Produkt " gegeben. - Was ist eine Orthonormalbasis? Damit sollte d) folgen. |
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17.12.2006, 14:38 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, was lineare Splines sind, weiß ich von dieser Seite(http://www.mathematik.de/spudema/spudema_beitraege/beitraege/scheiffert/index.htm). Was ist C([a,b])? Kronecker-delta....nicht mal im Script davon was gefunden... Was ein Skalarprodukt und eine Orthonormalbasis ist, weiß ich ! Mein Problem ist bei dieser Aufgabe, das Sie Allgemein gehalten wurde....damit komm ich nicht zurecht... Oc86 |
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17.12.2006, 14:44 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lies doch bitte genau, was ich geschrieben habe.
(Vielleicht mal im skript der linearen Algebra nachschlagen ) , auch das Kapitel Untervektorraum könnte von Interesse sein.
auch hier steht schon der Link dazu. Aber fangen wir bei a) an. |
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17.12.2006, 14:48 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
naja, zu Aufgabe a) Eine lineare FUnktion ist ja eindeutig durch 2 punkte bestimmt ! x1/y1 und x2/y2. Und In dem Lineare Splines haben ja die Linearen Funktionen knoten punkten , an den sie beide stetig sind!! Aber wie zeige ich das jetzt allgemein ? |
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17.12.2006, 14:56 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also aus der aufgabenstellung dürfen wir entnehmen, dass S eine Teilmenge von C([a,b]) ist, so dass wir uns um die Stetigkeit dieser linearen Splines zunächst mal keine Sorge machen müssen. Nun solltest du mir die Frage beantworten, was für ein Gebilde ist C([a,b]). Sonst macht die Frage nach dem Teilraum wenig Sinn. |
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17.12.2006, 15:03 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sind das nicht die linearen Funktionen die in dem Intrevall [a,b] Definiert sind?Ebend von a=x1 bis ebend zum letzten Punkt xn=b? Heißt das dann nicht, das z.b f1(x),f2(x) element von S ist, auch f1(x)+f2(x) element von S ist ??? |
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17.12.2006, 15:07 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Irgendwie scheint Du mir nicht zuzuhören, oder? C([a,b]) ist der Raum aller auf dem Intervall [a,b] stetigen Funktionen http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit ganz unten steht's und ich würde auch mal den Link "linearer Raum" lesen. |
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17.12.2006, 15:13 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, alle Lineare Funktionen im Intervall [a,b], die insgesamt stetig sind(auch an den Knotenpunkten) ! |
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17.12.2006, 15:15 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Antwort lautet: VEKTORRAUM Wie zeigt man, dass eine Menge einen Untervektorraum bildet? |
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17.12.2006, 15:21 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja Allemein wäre es ja, wenn W der Unterraum ist dann ist u+v element von v wenn alle us und alle vs sind Elemente von W und ein vielfaches von u ist element von W wenn alle us element von W ist dann bedeutet es ja für die aufgabe das f1(x)+f2(x) element von S ein müsste oder ? und lamda mal f1(x) auch element von S ist !! Aber das kann ich doch jetzt nicht so hinschreiben als lösung ??? |
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17.12.2006, 15:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, richtig. Nur sollst Du eben zeigen, dass gilt: Mach Dir dabei bewußt, was Du eigentlich zeigen musst. Das Hauptmerkmal von S ist nicht die Stetigkeit, die wurde uns durch die Aufgabenstellung schon geschenkt, sondern dass es sich Stückweise lineare Polynomfunktionen handelt. |
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17.12.2006, 15:37 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
soll ich dafür einfach 2 lineare funktionen meiner wahl nehmen ?? |
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17.12.2006, 15:40 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, da wir kein Gegenbeispiel konstuieren wollen, halten wir das mal alles schön allgemein. Welchen Raum bilden Polynomfunktionen? Der hat auch ein eigenes Symbol...Taucht oftmals bei Numerik, Interpolationspolynom auf. _________________________________ Diese Eigenschaft werden wir dann einfach ausnutzen. |
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17.12.2006, 15:46 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f : IR => IR |
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17.12.2006, 15:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Welchen Raum bilden Polynomfunktionen war die Frage und nicht von wo nach wo bilden sie ab Ich habe das z.B. hier Interpolation schon mal geschrieben. Ich helfe Dir gerne, aber Du musst auch die Fragen beantworten, die ich stelle. Ich frag das ja nicht ohne Grund |
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17.12.2006, 16:02 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin Dir auch SEHR DANKBAR Ich will Mathematik durch verstehen lernen und nicht irgendwie durch "auswendig" lernen. Deshalb finde ich es voll nett von dir , dass du mir nicht einfach die Lösung gibts, sondern mich an die Lösung heranführst Hab deine Beitrag von deinem Link angeguckt Hier müsstes es, wenn wir nur Funktionen ersten Grades haben, pi von 1 oder ? |
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17.12.2006, 16:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, also es gilt hier für die Restriktionen der Splines (dass sind die Einschränkungen auf die Teilintervalle) dass sie in liegen. Wir müssen nun den Nachweis der beiden vorhin geposteten Eigenschaften (wobei wir villeicht auch erwähnen sollten, dass der Unterraum nicht leer ist ) auf jedem Teilintervall durchfürhen, um zu zeigen, dass wir wieder eine stückweise lineare Funktion erhalten, Stetig ist sie wegen der VR-Eigenschaft von C([a,b]). Das sollte aber auch kein Problem sein, da die Restriktionen ja in liege, was ein Vektorraum ist. |
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17.12.2006, 16:25 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mhhh. Das heißt dann, das zwischen x1 und x2 eine funktion 1.grades ist und zwischen x2 und x3 auch eine funktion 1. grades (stetig) ? dann müsste zwischen x1 und x3 auch eine funktion erstes grades sein oder ?? siehe bitte anhang ! |
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17.12.2006, 16:30 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau so sieht ein linearer Spline aus |
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17.12.2006, 16:33 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie zeige ich das jetzt Allgemein ?? Ich kann doch nicht einfach schreiben: zwischen x1 und x2 ist eine lineare funktion , zwischen x2 und x3 ist eine lineare funktion , dann ist auch zwischen x1 und x3 eine lineare funktion und das zeigen bis xn ..... mhhhh |
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17.12.2006, 16:52 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du siehst Den Wald vor lauter Bäumen nicht. |
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17.12.2006, 16:58 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so meinte ich das in etwa :=) Reicht das wirklich , wenn ich das so hinschreibe ???? zu aufgabe b) es ist doch so, das bei n Knotenpunkten (n-1) im Intervall C[a,b] lineare funktionen sind mit (n-1) Teilbereiche oder ? |
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17.12.2006, 17:29 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich würde mal meinen, ja. Wenn deinem Prof noch was fehlt, wird es Dir der Korrektor sagen zu b) Zu n Knoten gibt es (n-1) Teilintervalle. also (n-1) Resstriktionen. Wann ist eine lineare Funktion eindeutig festgelegt? Durch vorgabe von 2 Wertepaaren (Satz üner Existenz und eindeutigkeit des Interpoationspolynoms). Desweiteren dürfte auch klar sein, dass ein Spline durch seine Restriktionen eindeutig bestimmt ist. Das jetzt mal schon hingeschrieben - fertig. |
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17.12.2006, 17:32 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das heiss dann f(xi) = g(xi) aber f ist ungleich g oder ??? |
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17.12.2006, 17:41 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verstehe die Frage nicht. Dabei sollten 2 Splines f,g wohl als gleich gelten, wenn für alle k = 1,...,n-1 gilt : Nun ist aber eine Restriktion bereits durch 2 Punkte eindeutig bestimmt, also sind mit der vorgabe der Funktionswerte an den Splineknoten alle Restriktion eindeutig bestimmt, somit auch der Spline. |
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17.12.2006, 17:46 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mit f(xi)=g(xi) meinte ich den Knotenpunkt zwischen den Teilbereichen !! und dann ist f ungleich g !! Und wie du schon gesagt hast, ist der Teilbereich durch 2 Punkten bestimmt !! (eindeutigkeit lineare funktion ) Dann ist, wie du schon gesagt hast, S eindeutig sein oder ? |
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17.12.2006, 17:48 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn für alle i=0,...n dann sind die SPlines gleich. |
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17.12.2006, 17:51 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum, laut der Zeichnung von mir ist z.b. bei x1 beide funktionen an dem punkt (linker teilbereich und rechter teilbereich) gleich ! Aber doch nicht alle splines ??? Verstehe ich da jetzt was falsch ? |
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17.12.2006, 17:54 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Machen wir mal malen nach Zahlen für Anfänger. Ich habe geschrieben, was auch die Aufgabenstellung sagt, dass ein linearer Spline eindeutig durch die Vorgabe der Funktionswerte an den splineknoten gegeben ist, oder dass wenn 2 lin. SPlines an den Splineknoten die gleichen Funktionswerte haben, sind sie gleich. Versuch dochmal in deiner Zeichnung einen zweiten LinSpline zu zeichnen, der duch die Knotenpunkte geht, aber vom ersten verschieden ist. |
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17.12.2006, 18:04 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, kapiert aufgabe c) mhh Kronecker-Delta hab mir mal deine Link angeguckt, so ganz hab ich das nicht verstanden ! s hoch i sind doch alle stetigen linearen Funktion im Spline? Wie Beweise ich , das sie eine Basis von S sind ??? |
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17.12.2006, 18:10 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mach mir doch nochmal ne skizze, wie Du denkst, dass diese Splines aussehen :-) |
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17.12.2006, 18:15 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Müsste so sein ! |
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17.12.2006, 18:24 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mmh, des versteh ich jetzt nicht. wir suchen uns aus der Menge S (der linearen Splines auf den Intervall [a,b] und der angegebenen Zerlegung) n spezielle heraus. Diese sind wie folgt definiert über die angabe der Funktionswerte an den splineknoten, wobei wir in b) festgestellt hatten, dass dadurch der Spline eindeutig bestimmt ist. Also neue skizze bitte. _____________________________________________________________ habe nochmal was editiert, da ich dachte, dass es bei den Knoten von 0 bis n geht. |
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17.12.2006, 18:33 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die grenzen sind zwischen a und b ! |
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17.12.2006, 18:36 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum liest du nicht, was ich schreibe Wir wollen den Basisspline zeichenen. Der hat bei x1 den Funktionswert 1 und an den anderen Knoten den Wert 0. Also nochmal |
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17.12.2006, 18:43 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aso, ich dachte du willst eine Zeichnung dazu !
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17.12.2006, 18:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt ist es richtig. Aber auch für die andere Frage wäre deine Zeichnung falsch gewesen. Du hst die Funktion zwischen 2 Knoten gestückelt. Damit ist sie zwar noch ein linearer Spline, aber nicht mehr auf der vorgegebenen Zerlegung des Intervalls. Deine Restriktionen sind somit keine linearen Funktionen. Aber das will ich jetzt nicht weiter diskutieren. Frag das ggf. in deiner Übungsgruppe. Sonst werden wir ja gar nicht mehr fertig. Mal bitte noch den Basisspline. |
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17.12.2006, 18:53 | Oc86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so richtig ? ich glaub jetzt habe ich die Kronecker-Delta verstanden !! |
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17.12.2006, 19:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie würde es in MyFairLady heissen? Mein Gott jetzt hat er's. Ich sehe mal über die verwirrende Grundzeichnung hinweg Wenn schon mal die zerlegung eingescannt ist, malt sich ja schnel mal was drüber Merk Dir dieses Bild gut. Ich linke Dir später noch was dazu! Nun wissen wir, wie die Basissplines aussehen sollen. Bleibt die Frage, warum sie eine Basis bilden? Der Nachweis ist zunächst ein wenig kniffelig, da wir genau überlegen müssen, was wir über den Vektorraum S (Untervektorraum von C([a,b])) schon wissen. Leider nicht viel. Noch nicht einemal, ob er endlich oder unendlich dimensional ist. Auch das Skalarprodukt wird erst im nächsten Punkt eingeführt. Bleibt bur die Möglichkeit zu zeigen, dass sich jedes Element eindeutig aus linear kombinieren lässt. |
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