Ableitung von arcsin(cos x)

11.07.2011, 19:26

MatheKind

Ableitung von arcsin(cos x)

Hallo,
das ist ja einerseits eine verkettete Funktion, andererseits ist arcsin eine Umkehrfunktion.

Ableitung der Umkehrfunktion:

$\begin{eqnarray*} y = sin \ x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos \ x} = \frac{1}{\sqrt{1- sin^2 \ x} } = \frac{1}{\sqrt{1- y^2} } = \frac{1}{\sqrt{1- x^2} } \end{eqnarray*}$

Ableitung von $\begin{eqnarray*} cos \ x = - sin \ x \end{eqnarray*}$

Gesamte Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \frac{-sin \ x}{\sqrt{1- x^2} } = \frac{-x}{\sqrt{1- x^2} } \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?
Danke im Voraus!

L. G.
MatheKind

11.07.2011, 20:51

DerKoso

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RE: Ableitung von arcsin(cos x)
Benutz mal die Ketten Regel (aber jetzt Richtig^^)

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} arcsin(cos(x)) = \frac{d}{dx} u \cdot \frac{d}{dx} arcsin(u) \text { mit } u = cos(x) \end{eqnarray*}$

11.07.2011, 20:55

Lampe16

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RE: Ableitung von arcsin(cos x)
Plotte mal den Graphen der Funktion! Das ist eine Säge und die Ableitung hat alternierend die Werte 1 und -1. Das müsste man auch durch Differenzieren ermitteln können.

11.07.2011, 20:58

MatheKind

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Achso, da hatte ich was vergessen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos(cos \ x)} * -sin \ x = \frac{- sin \ x}{cos(cos \ x)} \end{eqnarray*}$

Aber das ist doch noch nicht fertig. verwirrt

11.07.2011, 21:26

MatheKind

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Kann man denn $\begin{eqnarray*} cos( cos \ x) \end{eqnarray*}$ weiter auflösen? Ich stehe gerade auf dem Schlauch! unglücklich

11.07.2011, 21:43

DerKoso

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RE: Ableitung von arcsin(cos x)

Zitat:

Original von MatheKind
...

Ableitung der Umkehrfunktion:

$\begin{eqnarray*} y = sin \ x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos \ x} = \frac{1}{\sqrt{1- sin^2 \ x} } = \frac{1}{\sqrt{1- y^2} } = \frac{1}{\sqrt{1- x^2} } \end{eqnarray*}$ ...

da hast doch schon die ableitung vom arcsin x hingeschrieben musst doch jetzt nur nach der kettenregel cos x für x einsetzten

dann hast du schon die äußere ableitung und mit - sin hast du auch schon die innere Ableitung

und die ketten regel besagt ja nur (innere ableitung mal äußere ableitung)

nur mal so ein tipp damit warst nah dran

$\begin{eqnarray*} \frac{-sin \ x}{\sqrt{1- x^2} } \end{eqnarray*}$ fehlte nur ein cos^^

11.07.2011, 21:49

Lampe16

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Am Ende sollte die Ableitung gleich

$\begin{eqnarray*} -\mathrm{sgn}\sin(x) \end{eqnarray*}$

sein; jedenfalls kommt das per Angucken raus.

11.07.2011, 22:03

MatheKind

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Achso! :-)

Ableitung der äußeren Umkehrfunktion:

$\begin{eqnarray*} y = sin \ x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos \ x} = \frac{1}{\sqrt{1- sin^2 \ x} } = \frac{1}{\sqrt{1- y^2} } = \frac{1}{\sqrt{1- x^2} } \end{eqnarray*}$

Kettenregel besagt aber: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos(cos \ x) } \end{eqnarray*}$ Also $\begin{eqnarray*} cos \ x \end{eqnarray*}$ auf die äußere Ableitung anwenden:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1- cos^2 \ x} } \end{eqnarray*}$

Ableitung von $\begin{eqnarray*} cos \ x = - sin \ x \end{eqnarray*}$

Gesamte Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \frac{-sin \ x}{\sqrt{1- cos² \ x} } = \frac{-sin \ x}{\sqrt{sin² \ x + cos² \ x - cos² \ x} } = \frac{-sin \ x}{\sqrt{sin² \ x} } = \frac{-sin \ x}{sin \ x } = -1 \end{eqnarray*}$

Richtig?

12.07.2011, 06:53

Leopold

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Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = \arcsin \left( \cos x \right) \, , \ \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ -periodisch, weil die innere Funktion $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ das ist. Es genügt daher, sie im Intervall $\begin{eqnarray*} [-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Zunächst kann man wegen $\begin{eqnarray*} \arcsin t + \arccos t = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ auch

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\pi}{2} - \arccos \left( \cos x \right) \end{eqnarray*}$

schreiben. Für $\begin{eqnarray*} x \in [0,\pi] \end{eqnarray*}$ heben sich die Funktionen gegenseitig auf:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\pi}{2} - x \, , \ \ x \in [0,\pi] \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x \in [-\pi,0] \end{eqnarray*}$ dagegen ist $\begin{eqnarray*} -x \in [0,\pi] \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ eine gerade Funktion ist, kann man so rechnen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\pi}{2} - \arccos \left( \cos x \right) = \frac{\pi}{2} - \arccos \left( \cos (-x) \right) = \frac{\pi}{2} - (-x) = \frac{\pi}{2} + x \, , \ \ x \in [-\pi,0] \end{eqnarray*}$

Und wegen der $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ -Periodizität ist damit alles geklärt.

Und jetzt überlege, wo in deiner Rechnung etwas nicht stimmen kann.

12.07.2011, 10:45

Lampe16

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Meine Zusammenfassung, falls hier später noch einer nachschaut: Zur Herleitung von

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin \cos x=-\frac{\sin x}{|\sin x|} \end{eqnarray*}$

genügen die Anwendung der Kettenregel, der Ableitungen von arcsin und cos und die Gln.

$\begin{eqnarray*} \sin^2 x +\cos^2x=1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\sin^2 x}=|\sin x| . \end{eqnarray*}$

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