Lineare Abbildung W=V Basis?

Neue Frage »

Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung W=V Basis?
Hallo ich habe mal eine Frage zu Abbildungen zweier gleicher Vektoren und deren Basis.

Folgende Abbildung liegt vor:



Diese ist Bijektive und folgenden zwei Basen liegen vor:

Basis von V:


Basis von W:


Jetzt die eigentliche Frage: Wenn für die Abbildung nun gilt das diese Injektiv und nicht zwingend surjektiv und V = W sind die oben gennaten Basen auch für diese Abbildung gültig?

Wieso ist das so, ich dachte die Abbildung muss bijektiv sein damit dies gilt?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Für endlichdimensionale Vektorräume ist ein injektiver Endomorphismus von V in V automatisch auch bijektiv.
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Für endlichdimensionale Vektorräume ist ein injektiver Endomorphismus von V in V automatisch auch bijektiv.


Ok aber wie kann man das zeigen, bzw. Beweisen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige: für , wobei ein endl. erzeugter Vektorraum ist.
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte erst jetzt wieder Zeit mich mit der Aufgabe zu beschäftigen, ich würde den Beweis zur Surjektivität über einen Gegenbeweis machen

Es dürfte also für ein kein mit
geben. Könnte man so weiter machen? Eigentlich ist ja schon klar das es diesen Fall nicht gibt da es bei gleichen Vektorräumen immer ein Bild für ein Element aus der Definitionsmenge gibt, richtig?
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

push
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tarsuinn
Es dürfte also für ein kein mit
geben.


Das ist schlichtweg Unfug, sorry.
Du sagst mit dieser Gleichung aus, dass es gibt, dass nicht auf ein Element aus W abgebildet wird. Damit würde es aber zwangsläufig nicht im Definitionsbereich und somit nicht in V liegen, oder W wäre nicht der Bildraum.
Somit wäre die Definition der Abbildung schon falsch.

Surjektiv heisst vielmehr, dass jedes Element des Bildraums auch (mindestens) ein Urbild hat. Also
geben

Die Negation hiervon wäre dann dein Ansatz für einen Gegenbeweis, aber ich würde den direkten Weg bevorzugen, den Iorek Dir angeboten hat.
Zeige, dass aus Injektiv auch surjektiv folgt und umgekehrt.
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort, es erschein mir auch logisch aber ich finde Mathematisch keine Beweisführung dafür, deswegen würde ich wohl über den Dimensionssatz sagen das der Kern ja aufgrund der injektivität eine Dimension von 0 hat und es gilt dim V = dim ker + dim f somit muss Die Abbildung auch surjektiv sein, denn n = 0 + n = n.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist auch der einfachste Beweis Freude
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Ich greife mein Thema nochmal auf das es auch mit Abbildungen zu tun hat.

Wenn man sagt das bei einer lin. Abbildung folgendes gilt:

Eine lineare Abbildung T zwischen den Vektorräumen V und W bildet den Nullvektor von V auf den Nullvektor von W ab

Also T(0) = 0, muss dann V und W zwingend ein Vektorraum sein damit das gilt?

Ich würde sagen ja, da bei Vektorräumen immer der Nullvektor vorhanden ist und somit T(0)=0 genau definiert ist, bei Mengen ist dies ja nicht der Fall da eine Menge auch leer sein kann was beim VKR nicht passieren kann, oder?
Keff91 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, lineare Abbildungen sind zwingend mit Vektorräumen verbunden!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »