Kurvenintegral über Differentialform

12.07.2011, 01:51

bipolarminds

Kurvenintegral über Differentialform

Hallo,
wir haben das Kurvenintegral einer Differentialform \omega auf U über einen Weg $\begin{eqnarray*} \alpha :\left({a,{b}}\right)\rightarrow U\subset {\mathbb{R} }^{{n}} \end{eqnarray*}$
folgendermaßen definiert:
$\begin{eqnarray*} {\int_{{\alpha }}\omega }={\int_{a}^{b}{\alpha }^{{\ast }}}\omega \end{eqnarray*}$

Nun ist ja
$\begin{eqnarray*} {\alpha }^{{\ast }}\omega :\left({a,{b}}\right)\rightarrow {\bigcup_{t\in \left({a,{b}}\right)}{{T}_{{t}}^{{\ast }}\left({a,{b}}\right)}} ;\ t\mapsto {{\left({{\alpha }^{{\ast }}\omega }\right)}}_{{t}} \end{eqnarray*}$

Der Integrand ist also eine Linearform deren Definitionsbereich (der Tangentialraum $\begin{eqnarray*} {T}_{{t}}\left({a,{b}}\right) \end{eqnarray*}$ ) sich mit t ändert.

Wie kann ich mir diesen Integralbegriff plausibel machen? Die Linearformen selbst wirken ja zu keiner Zeit auf irgendwelche Vektoren aus dem Tangentialraum, sondern stehen für sich, oder?

Gruß
Tobi

12.07.2011, 09:58

Ehos

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Ich erkläre am Beispiel, was gemeint ist:
--------------------------------------------------------
Angenommen du hast auf einer gekrümmten Fläche ein Kraftfeld $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ gegeben (z.B. Windfeld auf der Erdoberfläche). Bewegt man sich entlang einer Flächenkurve $\begin{eqnarray*} \vec x(t) \end{eqnarray*}$ gegen dieses Feld, wird folgende Arbeit A verrichtet

$\begin{eqnarray*} A=\int_{\vec x_1}^{\vec x_2} \! \vec F(x) \, d\vec x \end{eqnarray*}$

Wenn der Parameter der Kurve $\begin{eqnarray*} \vec x(t) \end{eqnarray*}$ die Zeit t ist, kann man $\begin{eqnarray*} \dot {\vec x}=\frac{d\vec x}{dt} \end{eqnarray*}$ als Geschwindigkeit interpretieren. Wir substituieren damit das Differenzial gemäß $\begin{eqnarray*} d\vec x=\dot {\vec x}\,\,dt \end{eqnarray*}$ und erhalten das neue Integral

$\begin{eqnarray*} A=\int_{t_1}^{t_2} \! \vec F\dot {\vec x}\, dt \end{eqnarray*}$

Da die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} \dot {\vec x} \end{eqnarray*}$ wegen der tangentialen Bewegung tangential zur Fläche liegt, kann man das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \vec F \dot {\vec x} \end{eqnarray*}$ als "Linearform auf dem Tangentialraum" auffassen, wobei die Geschwindigkeitsvektoren $\begin{eqnarray*} \dot{\vec x} \end{eqnarray*}$ die Argumente dieser Linearform sind. Mehr steckt da nicht hinter. Übrigens: Da das Produkt aus Kraft und Geschwindigkeit gerade die Leistung $\begin{eqnarray*} P=\vec F\dot{\vec x} \end{eqnarray*}$ darstellt, besagt das letzte Integral: "Arbeit=Leistung mal Zeit", was aus der Schule gut bekannt ist.

12.07.2011, 11:30

bipolarminds

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Danke erstmal für deine Antwort!

Zitat:

Da die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} \dot {\vec x} \end{eqnarray*}$ wegen der tangentialen Bewegung tangential zur Fläche liegt, kann man das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \vec F \dot {\vec x} \end{eqnarray*}$ als "Linearform auf dem Tangentialraum" auffassen, wobei die Geschwindigkeitsvektoren $\begin{eqnarray*} \dot{\vec x} \end{eqnarray*}$ die Argumente dieser Linearform sind

Ja, das habe ich auch gelesen, aber irgendwie passt das nicht mit unserem Formalismus zusammen. Die Differentialform auf $\begin{eqnarray*} {\mathbb{R} }^{{3}} \end{eqnarray*}$ wäre hier
$\begin{eqnarray*} \omega ={\sum_{i=1}^{3}{{F}_{{i}}\left({\vec{y}}\right)d{y}_{{i}}}} \end{eqnarray*}$
und das Integral dementsprechend
$\begin{eqnarray*} {\int_{\vec{x}\left({t}\right)}\omega }={\int_{\vec{x}\left({t}\right)}{{\sum_{i=1}^{3}{{F}_{{i}}\left({\vec{y}}\right)}}{d{{y}_{{i}}}}}}={\int_{{t}_{{i}}}^{{t}_{{2}}}{{\sum_{1=1}^{3}{{F}_{{i}}\left({\vec{x}\left({t}\right)}\right)\frac {\partial {x}_{{i}}}{\partial t}\left({t}\right)}}{d{t}}}} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} {\sum_{i=1}^{3}{{F}_{{i}}\left({\vec{x}\left({t}\right)}\right)\frac {\partial {x}_{{i}}}{\partial t}\left({t}\right)dt}} \end{eqnarray*}$ als Differentialform auf $\begin{eqnarray*} \left({{t}_{{1}},{{t}_{{2}}}}\right) \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} {\dot{\vec{x}}}\left({t}\right) \end{eqnarray*}$ sind hier also Bestandteil der Differentialform und von Elementen aus dem Tangentialraum keine Spur...

12.07.2011, 12:20

zweiundvierzig

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RE: Kurvenintegral über Differentialform

Zitat:

Original von bipolarminds
Der Integrand ist also eine Linearform deren Definitionsbereich (der Tangentialraum $\begin{eqnarray*} {T}_{{t}}\left({a,{b}}\right) \end{eqnarray*}$ ) sich mit t ändert.

Das ist eine unglückliche Formulierung.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Deine Frage richtig verstehe. Hier ist erstmal die Motivation: Du hast eine Differentialform $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , d.h. eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \omega \colon U \to (TU)^* = \bigcup_{p \in U} (T_p U)^* \end{eqnarray*}$ ins Kotangentialbündel. Wie integriert man Differentialformen im mehrdimensionalen oder auf allgemeinen Mannigfaltigkeiten? Man zieht sie durch Wahl eines Wegs auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zurück, in unserem Fall vermöge $\begin{eqnarray*} \alpha^* \omega = \omega \circ \alpha \colon (a,b) \to (TU)^* \end{eqnarray*}$ .

Was bewirkt nun das "Einsetzen" des Wegs $\begin{eqnarray*} \alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \end{eqnarray*}$ in die Differentialform? Angenommen, wir haben $\begin{eqnarray*} \omega = \sum_{i = 1}^n \omega_i ~ \mathrm{d} x_i \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha^* \omega = \sum_{i = 1}^n (\omega_i \circ \alpha)~\mathrm{d} \alpha_i = \sum_{i = 1}^n (\omega_i \circ \alpha) \frac{\partial \alpha_i}{\partial t}~\mathrm{d}t = \sum_{i = 1}^n (\omega_i \circ \alpha) \frac{\mathrm{d} \alpha_i}{\mathrm{d} t}~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ .

Im Höherdimensionalen ergeben sich etwas längere Formeln, siehe Differential form (pullback).

12.07.2011, 12:22

Ehos

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Die lokalen Geschwindigkeitsvektoren $\begin{eqnarray*} \dot {\vec x} \end{eqnarray*}$ entlang der Kurve, welche im Tangentialraum liegen, gehören nicht zur Linearform, sondern sind deren Argumente, also deren Definitionsbereich. Die Linearform ist nur das Kraftfeld $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ .

Mit anderen Worten: Das Kraftfeld repräsentiert eine Abbildung, die vermöge des Skalarproduktes $\begin{eqnarray*} \vec F\dot{\vec x} \end{eqnarray*}$ jeden tangentialen Geschwindigkeitsvektor $\begin{eqnarray*} \dot {\vec x} \end{eqnarray*}$ in linearer Weise auf eine Zahl abbildet (lokal). Das ist gerade die Definition einer Linearform! In unserem Beispiel ist diese Zahl gerade die Leistung.

Man kann das übrigens auch ohne "Geschwindigkeit" $\begin{eqnarray*} \dot {\vec x} \end{eqnarray*}$ betrachten, indem man im Arbeitsintegral $\begin{eqnarray*} A=\int_{\vec x_1}^{\vec x_2} \! \vec F(x) \, d\vec x \end{eqnarray*}$ als Argumente der Linearform $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ (=Linearform) die differenziellen, tangentialen Wegelemente $\begin{eqnarray*} d\vec x \end{eqnarray*}$ entlang der Kurve betrachtet.

12.07.2011, 14:20

bipolarminds

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Zitat:

Was bewirkt nun das "Einsetzen" des Wegs $\begin{eqnarray*} \alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \end{eqnarray*}$ in die Differentialform? Angenommen, wir haben $\begin{eqnarray*} \omega = \sum_{i = 1}^n \omega_i ~ \mathrm{d} x_i \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha^* \omega = \sum_{i = 1}^n (\omega_i \circ \alpha)~\mathrm{d} \alpha_i = \sum_{i = 1}^n (\omega_i \circ \alpha) \frac{\partial \alpha_i}{\partial t}~\mathrm{d}t = \sum_{i = 1}^n (\omega_i \circ \alpha) \frac{\mathrm{d} \alpha_i}{\mathrm{d} t}~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ .

Genau das steht ja bei mir da oben...
Also hinter dem Integral steht eine Linearform auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ a lá
$\begin{eqnarray*} \omega \left({t}\right)=f\left({t}\right)dt \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} v\in {T}_{{t}}\left({{t}_{{1}},{{t}_{{2}}}}\right)\mapsto \left({\omega \left({t}\right)}\right)\left({v}\right) \end{eqnarray*}$

Wie sehen nun die $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ 's aus? Kommen die überhaupt vor?

12.07.2011, 15:30

zweiundvierzig

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Naja, eigentlich geht es um das Tangentialbündel einer offenen Umgebung, nicht eines Intervalls. Man kann $\begin{eqnarray*} T_p U \cong \{p\} \times \mathbb R^n \cong \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ identifzieren. Die Tangentialvektoren an $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sind also Paare $\begin{eqnarray*} (p,v) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Für die Auswertung von $\begin{eqnarray*} \omega = \sum_{i = 1}^n \omega_i ~ \mathrm{d} x_i \end{eqnarray*}$ schreibe ich mal $\begin{eqnarray*} \omega(p) := \omega^p \in (TU)^* = \mathrm{Hom}(TU, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ . Wenn Du die Linearform $\begin{eqnarray*} \omega^p \end{eqnarray*}$ nun an einem Tangentialvektor $\begin{eqnarray*} v = (v_1, \ldots, v_n) \end{eqnarray*}$ auswerten willst, dann erhälst Du $\begin{eqnarray*} \omega^p(v) = \sum_{i =1}^n \omega^p_i(v) ~(\mathrm{d}x_i)^p (v) = \sum_{i =1}^n \omega^p_i(v) \cdot v_i \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

12.07.2011, 16:02

bipolarminds

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ich habe mich missverständlich ausgedrückt, mit $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ meinte ich die zurückgeholte Differentialform $\begin{eqnarray*} (\alpha^*\omega)^t \end{eqnarray*}$ und die wirkt ja auf Tangentialvektoren aus $\begin{eqnarray*} T_t(t_1,t_2) \end{eqnarray*}$ , oder?

12.07.2011, 16:26

zweiundvierzig

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Edit: Ich hatte mich vertan; siehe unten.

12.07.2011, 16:52

bipolarminds

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Hmm, bei dir steht doch (ausgewertet in $\begin{eqnarray*} t\in \left({{t}_{{1}},{{t}_{{2}}}}\right) \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} {{\left({\alpha \ast w}\right)}}^{{t}}={\sum_{i=1}^{n}{\left({{\omega }_{{i}}\left({\alpha \left({t}\right)}\right)}\right)\frac {d{\alpha }_{{i}}\left({t}\right)}{dt}dt\mid_t}} \end{eqnarray*}$

Also ist der Ausdruck wegen $\begin{eqnarray*} \langle dt \mid_t \rangle = T_t^* \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein Element aus $\begin{eqnarray*} {T}_{{t}}^{{\ast }}\mathbb{R} ={T}_{{t}}^{{\ast }}\left({{t}_{{1}},{{t}_{{2}}}}\right) \end{eqnarray*}$

Warum nicht?

13.07.2011, 02:20

zweiundvierzig

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Ist Deine Frage konkret, ob $\begin{eqnarray*} \alpha^* \omega \end{eqnarray*}$ eine Differentialform auf $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ist? Das geht wegen $\begin{eqnarray*} (\alpha^*\omega)^t = \omega^{\alpha(t))} \circ \alpha_{*,t} \in T(a,b) \end{eqnarray*}$ .

Hattest Du das vorhin gemeint? Sorry, wenn wir da aneinander vorbeigeredet hatten.

13.07.2011, 08:31

bipolarminds

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okay :-) Jetzt zum Ausgangspunkt der Frage: wirkt diese eindimsionale Linearform $\begin{eqnarray*} \alpha^*\omega \end{eqnarray*}$ beim integrieren auf irgendwelche Tangentialvektoren, oder steht sie für sich? wie kann ich mir den Integrationsprozess im Tangentialraum-Formalismus vorstellen?

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