Hinreichende Bedingung des Newton-Verfahrens

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Quorn Auf diesen Beitrag antworten »
Hinreichende Bedingung des Newton-Verfahrens
Ich befasse mich gerade mit der folgenden hinreichenden Bedingung des Newton-Verfahrens zur Nullstellenbestimmung:


Satz: Die Funktion f sei im Intervall [a;b] zweimal stetig differenzierbar und besitzt in (a;b) eine Nullstelle n mit . Dann gibt es eine Umgebung U um n, sodass das Newton-Verfahren für jeden Startwert gegen n konvergiert.


Frage: Nehmen wir mal an, alle Bedingungen des Satzes seien für eine Funktion f erfüllt, ausser dass . Kennt jemand ein Beispiel, bei welchem das Newton-Verfahren dann nicht konvergiert (Startwert genügend nah an der Nullstelle vorausgesetzt)?

Natürlich darf man als Startwert nicht n wählen (logisch). Ausser dem trivialen Beispiel f(x)=0 in einer Umgebung um n fällt mir kein anderes Beispiel ein. Geht es also bei dieser Bedingung nur darum, diese zwei Fälle auszuschliessen?

Besten Dank!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hinreichende Bedingung des Newton-Verfahrens
Hallo,

die Frage muss zunächst mal lauten, welche Rollen spielen die Bedingungen in dem Satz. C² ist nämlich schon eine starke Anforderung (aus numerischer Sicht). Wie sieht denn der Konvergenzbeweis dazu aus. Dann sollte auch was über die Geschwindigkeit(!) drin stehen. Ferner ist es ein Konvergenzssatz für einfache Nullstellen.

Du interessierst dich nun für das Newton-Verfahren bei mehrfachen Nullstellen. Da ist es auch anwendbar. Man büßt in der Regel aber Geschwindigkeiten ein. Numerische Probleme sollten auch klar sein. Selbst wenn in der Folge die Nenner (mit den Ableitungen) nicht 0 sind, so kommen sie doch numerisch an Null heran, was Probleme verursachen kann.

Auf der anderen Seite zerstört es zunächst den üblichen Konvergenzbeweis, weil uns eine Abschätzung verloren geht. Aber man kann sich anders weiterhelfen. Wenn wir also C² weiter fordern, dann kannst du mal hier schauen. Dort gibt es einen Konvergenzbeweis.
[WS] Eindimensionale Nullstellenprobleme 2 - Das Newton Verfahren

Dein Beispiel der Nullfunktion ist imho nicht tauglich. Je nach Abbruchabfrage, z.b. |f(x)| könnte das Verfahren schon in 0-Schritten konvergieren. Man gibt einen Startwert ein, der erfüllt die Bedingung, man ist fertig. Ferner gibt es hier unendlich viele Nullstellen und dein sollte eher auf mehrfache Nullstellen abzielen.
Quorn Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Wenn ich dich also richtig verstehe, kann ich die Bedingung weglassen und der Satz bleibt korrekt (was ich eigentlich geahnt habe).

Allerdings ist die Konvergenz bei einer mehrfachen Nullstelle üblicherweise langsamer.

Eine kleine Anfängerfrage:

In deiner Voraussetzung bzw. in deinem Beweis klammerst du den Faktor aus. Gibt es keine Funktionen mit mehrfachen Nullstellen die keine Polynome sind? Oder wieso darf man sonst so ausklammern?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn ich dich also richtig verstehe, kann ich die Bedingung weglassen und der Satz bleibt korrekt (was ich eigentlich geahnt habe).


So darfst du das nicht formulieren. Denn in dem Satz von dir [also im Beweis], wird man sicherlich auf diese Bedingung zurückgegriffen haben, oder? Man kann aber auch für den Fall von mehrfachen Nullstellen eben einen Konvergenzbeweis formulieren. In der Definition des Begriffs "mehrfache Nullstelle" liegt die Antwort auf deine zweite Frage. Augenzwinkern
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