Ist jedes Querschnittsdreieck in einer dreiseitigen Pyramide eindeutig? |
| 12.07.2011, 12:47 | Healther | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ist jedes Querschnittsdreieck in einer dreiseitigen Pyramide eindeutig? Im Vorraus möchte ich mich schonmal für eventuelle Ungenauigkeiten bei der Beschreibung entschuldigen, auch wenn ich glaube, dass es mittlerweile recht verständlich ist^^. Es geht im folgende Situation: Ich betrachte von einem Punkt aus eine Pyramide (dreieckige Grundfläche), deren Maße mir bekannst sind. Ich kenne außerdem den Abstand zu 3 Punkten auf den Kanten der Pyramide (einen pro Kante). Diese Punkte liegen mit meiner Ausgangspostition in einer Ebene. Aus diesen Informationen berechne ich dann meine Ausgangsposition relativ zur Pyramide. Die Berechnung an sich ist nicht das Problem, das macht der Rechner. Diese dürfte auch soweit in Ordnung sein. Die Frage, die jetzt aber aufgetaucht ist, ist, ob diese Berechnung überhaupt eindeutig ist? Meine Ideen: Ich vermute, dass die Berechnung eindeutig ist, jedoch ist keine analytische Lösung des Problems möglich. Der Versuch führt auf ein quadratisches Gleichungssystem mit 3 Unbekannten, für welches (vermutlich) keine analytische Lösung besteht, auf diesem Weg ist der Beweis der Eindeutigkeit also nicht durchführbar (bitte korrigieren falls doch). |
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| 12.07.2011, 16:44 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ist jedes Querschnittsdreieck in einer dreiseitigen Pyramide eindeutig? wie wird denn sicher gestellt, dass sich die 3 kreise tatsächlich in einem punkt schneiden 
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| 12.07.2011, 18:01 | Healther | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche drei Kreise? Falls es dir um die Frage geht, ob diese Pyramide wirklich existiert. Ja tut sie, es ist ein reales Objekt dessen Maße bekannst sind |
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| 12.07.2011, 18:12 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das ist doch egal, ob die pyramide existiert. wenn die 3 punkte auf den kanten und der gesuchte punkt P in einer ebene liegen, müßte sich P als schnittpunkt von 3 kreisen, deren radien die jeweiligen abstände zu A, B und C sind, ergeben. darauf zielt meine frage, denn iim allgemeinen schneiden sich 3 kreise nicht in einem punkt |
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| 12.07.2011, 18:37 | Healther | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist natürlich korrekt, habs bis jetzt noch nicht von der Positon aus betrachtet. Der bisherige Ansatz lautet: Bestimmung der Abstände der 3 Kantenpunkte zur Spitze. Damit bekommen wir die exakte Ebene in der wir uns befinden. Dann haben wir nur noch ein Problem mit 3 Kreisen in einer Ebene die sich schneiden. Anm: Die 3 Kreise schneiden sich zwangsläufig, da die Werte ja gemessen werden edit: damit sind es ja nicht mehr 3 beliebige Kreise |
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| 12.07.2011, 19:57 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich glaube, ich komme der sache näher: gegeben: pyramide mit den 3 punkten, von diesen aus mißt man die entfernung zu einem (unbekannten) punkt. jetzt sollen die koordinaten dieses punktes (relativ z.b. zur spize des pyramide oder einem der 3 punkte ...) bestimmt werden. der 3. kreis elimiert sozusagen einen der beiden schnittpunkte der kreise k1 und k2 (oder dient der einschränkung von meßfehlern 
)scheint machbar
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| 12.07.2011, 21:13 | Healther | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur Verdeutlichung hab ich mal nen Bild gemacht. Es geht nur um die Frage, ist das Dreieck P_0P_1P_2 (nennen wir es einfach D) eindeutig in der Pyramide ABCS. Die Berechnung des Ausgangspunktes ist erstmal nicht so wichtig. Meine Überlegung war, das jede Winkel/Längen-Kombination nur einmal auftreten kann. Das erste Problem ist aber bereits der Ansatz. Ich hatte versucht die Auswirkungen von Kippungen des Dreiecks D um die 3 Achsen zu untersuchen. Da die Lage der Achsen an sich ja uninteressant ist, habe ich zwei durch die Pyramiengrundseite gelegt. (Eine parallel zu einer Kante x, die andere senkrecht dazu y und die dritte durch die Spitze z) aber so richtig formal gesicherte Erkenntnisse hab ich noch nicht. Ach so was ich vergessen hatte: die Grundseite ist gleichseitig, dadurch werden die Ergebnisse doppeldeutig, ist aber uninteressant, da man weiß wie rum man auf die Pyramide schaut |
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| 13.07.2011, 08:33 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich bin leicht verwirrt. was ist den nun genau gegeben
und wie ist das zeug gegeben (koordinaten etc.) was soll denn nun berechnet werden
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| 13.07.2011, 09:23 | Healther | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry^^ die eigentliche Frage die ich mir stelle ist unabhängig von dem konkreten Problem. Es geht mir nur darum, ist dieses Dreieck eindeutig oder nicht? In der Praxis sieht die Sache so aus, dass ich mich in einem Punkt P außerhalb der Pyramide befinde. Von diesem aus messe ich den Abstand zu den drei Punkten P_0, P_1 und P_2. Diese befinden sich auf den Kanten der Pyramide und werden durch eine Linie festgelegt, die ich aus dem Punkt P ausstrahle. Prinzipiell sieht es so aus wie in den beiden Anhängen, wobei in dem ersten die reale Situation und in dem zweiten mein Wissen abgebildet ist. Es geht also prinzipiell um den Zusammenhang zwischen den 2D-Informationen die ich hab und meiner 3D-Position |
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| 13.07.2011, 09:23 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Healther Ich teile Werners Verwirrung: Mit jeder zusätzlichen Erklärung ist die Sachlage unklarer geworden. Also streng dich mal an, konzentriere dich, und liste ganz genau auf, was hier gegeben und was gesucht ist, und vermenge das zunächst nicht mit deinen Gedanken zur Lösung des Problems. EDIT: Sorry, hat sich mit deinem Beitrag überkreuzt. Mal sehen, ob es jetzt verständlich ist. EDIT2: Nicht wirklich. Aber ich überlasse es Werners fähigen Händen, vielleicht hat er es ja verstanden. |
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| 13.07.2011, 09:49 | Healther | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Rene: es tut mir leid, ich versuche es nochmal, diesmal ohne jede Anmerkung zur Realität. Ich versuchs mal rein mathematisch zu formulieren. Gegeben Sei ein Dreieck P_0P_1P_2. Die Koordinaten von P_0, P_1 und P_2 sein der Form (x,y,0) (in S_1). Gegeben Sei außerdem ein zweites Koordinatensystem S_2. In diesem liege die Pyramide ABCS. Für die Punkte P_0, P_1, P_2 gelte: P_0 Element von AS, P_1 Element von BS, P_2 Element von CS Gesucht Seien die Koordinaten von P_0, P_1, P_2 in S_2. Bzw. eigentlich nur, ob P_0, P_1 und P_2 eindeutig in S_2 bestimmt sind |
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| 13.07.2011, 10:20 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Rene, wenn jemand da helfen kann, dann sicher du. aber danke für die blumen.
ich versuche es einmal: Healther sitzt irgendwo in der wüste und starrt nicht die cheopspyramide an, sondern eine mit einem gleichseitigen 3eck als grundfläche. von der pyramide sind bekannt: koordinaten der eckpunkte und spitze, oder auch nicht
nun visiert Healther (H) einen punkt an der kante AS an, nennt ihn P0 und mißt den abstand HP0. anschließend dreht H das meßgerät und mißt HP1 mit P1 auf BS. der ordnung halber: der drehwinkel ist bekannt (oder auch nicht). wie kommst du sonst zu dem 3eck im bilderl? eine analoge messung ergibt HP2, diese messung erfolgt so, dass H, P0, P1 und P2 in einer ebene liegen. frage: kann ich aus den 3 messungen die 3 punkte eindeutig auf den pyramidenkanten festnageln, also ihre koordinaten in S2 angeben
ok
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| 13.07.2011, 10:48 | Healther | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@riwe: Es ist kein gleichseitiges Dreieck, sondern nur ein gleichschenkliges. Ansonsten richtig, aber ich kenne die Punkte P_0-P_2, ihre relative Lage und meine relative Lage zu ihnen. Allerdings nur in meinem Koordinatensystem. Vom Prinzip her habe ich einen 2D Ausschnitt aus der Pyramide. Meine Frage ist jetzt, ist es mit diesen Informationen eindeutig möglich, zu sagen wo ich mich im Koordinatensystem der Pyramide befinde? Ich schreibe nochmal alle Koordinaten auf, die ich im jeweiligen Koordinatensystem kenne und welche ich nicht kenne. mein Koordinatensystem (S_1): Ich kenne: P_0,P_1,P_2, H Ich kenne nicht: A,B,C,S Pyramidensystem (S_2): Ich kenne: A,B,C,S Ich kenne nicht: P_0,P_1,P_2, H in beiden Systemen gilt: P_0 Element von AS, P_1 Element von BS, P_2 Element von CS |
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| 16.07.2011, 13:47 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mein käse dazu: ich habe das ganze einmal umgekehrt aufgebaut. ich wähle 3 punkte auf den jeweiligen kanten einer beliebigen gegebenen pyramide. aus diesen punkten bastle ich die 3 seiten des entsprechenden 3ecks. frage: kann ich aus diesen 3 seiten die 3 punkte eindeutig rekonstruieren. da dies (bei mir) auf ein unüberschaubares sytem quadratischer gleichungen führt, habe ich die beantwortung dieser frage meinem PC überlassen. antwort: "unter den üblichen verdächtigen", wenn ich also die fehlerschranke hinreichend klein wähle - was ja eh klar ist - , ist die rekonstruktion eindeutig hilft dir das weiter
was ist denn nun H
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| 18.07.2011, 08:07 | Healther | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sry das ich mich erst jetzt melde, war übers Wochenende leider beschäftigt. H ist meine Position (hattest du glaube ich mal so angegeben). Das was du gemacht hast, war exakt das was ich wollte... Scheinbar hab ich mich nur extrem kompliziert und umständlich ausgedrückt. Sorry dafür. Was ich idealerweise dazu haben wollte war ein allgemeingültiger Beweis, dass dies wirklich so ist, es handelt sich dabei um ein reales Problem, in dem eine falsch-richtige Positionsfeststellung extrem unangenehm wäre. Allerdings werden dabei eh mehrere Messungen vorgenommen und gemittelt. Der Beweis ist also mehr oder weniger nur zur Absicherung erwünscht, um eben auch das unwahrscheinlichste Ausschließen zu können. Mein Problem mit dem Beweis ist, das ich kaum im 3D-Bereich unterwegs gewesen bin (hab grade erst Abi gemacht) und entsprechend schlechte Vorstellungen was passiert bei welcher Veränderung der Ausgangslage. Das einzige was ich zu Beweisen kenne sind Induktionen und einfache logische Schlussfolgerungen. Ich weiß nichtmal ob es solche geometrischen Sätze gibt, geschweige denn wie man sie beweisen könnte. Aber unabhängig davon, danke für deine Mühe. MfG Healther |
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| 20.07.2011, 18:38 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nur der vollständigkeit halber, das haben der PC und ich gemacht. gegeben sind die seiten eines dreiecks und die abstände dieser punkte vom beobachter auch H genannt. 
die punkte liegen auf einer 3eckigen pyramide mit spitze und den eckpunkten , und der grundfläche mit den ortsvektoren .... gesucht sind die koordinaten der 4 punkte im koordinatensystem der pyramide. 1) rekonstruktion der dazu ist das system in r, s und t zu lösen die lösung liefert der PC. 2) rekonstruktion von P in anlehnung an einen beitrag von Leopold daraus erhält man eine lineare gleichung in x und damit y und z das ganze läßt sich in EXCEL leicht basteln
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