Erwartungswert vom Kehrwert einer ZV?

12.07.2011, 16:23	Balamboei	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert vom Kehrwert einer ZV? Hallo, ich will zeigen, dass für $\begin{eqnarray} X_1, ..., X_n \end{eqnarray}$ jeweils identisch Exp(v) verteilte stochastisch unabhängige Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} \hat{v}_n = \frac{1}{\bar{X}_n} \end{eqnarray}$ kein erwartungstreuer Schätzer für v ist. Wobei $\begin{eqnarray} \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray}$ Dafür muss ich ja zeigen, dass $\begin{eqnarray} E_v(\hat{v}_n) \neq v \end{eqnarray}$ Allerdings wie löse ich $\begin{eqnarray} E_v(\hat{v}_n) = E_v( \frac{1}{\bar{X}_n}) = E_v( \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}) = n E_v( \frac{1}{\sum_{i=1}^n X_i}) \end{eqnarray}$ auf. Ich darf doch nicht einfach den Erwartungswert in die Summe im Nenner ziehen, oder? Gruß, Balamboei
19.07.2011, 08:33	Balamboei	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiss denn niemand einen Rat, wie man das auflösen kann?
19.07.2011, 10:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wird dir kaum was anderes übrig bleiben, als die Verteilung von $\begin{eqnarray} \hat{v}_n \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Auf dem Weg dahin ist es sicher von Vorteil, wenn du berücksichtigst, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray}$ einer Erlang-Verteilung $\begin{eqnarray} \operatorname{Erl}(v,n) \end{eqnarray}$ unterliegt.

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