Einheiten, Nullteiler und multiplikativ Inverses im Ring Z/155

12.07.2011, 17:13

taiBsu

Einheiten, Nullteiler und multiplikativ Inverses im Ring Z/155

Meine Frage:
Hallo, ich bin gerade am Lernen für meine Nachholklausur (1.W, habe wohl ein bisschen zu sehr gepennt im ersten Semester) Und habe folgende Aufgabe vor mir:

1. Zum Rechnen modulo 155 verwendet man den Ring Z/155.
(a) Welche der drei Zahlen 60, 61, 62 ist eine Einheit in diesem Ring? Berechnen Sie zu dieser Einheit das multiplikativ Inverse. Geben Sie zu einem der Nullteiler a aus der Menge {60, 61, 62} ein Element b an mit der Eigenschaft :
(a · b) mod 155 = 0.

Meine Ideen:
Also ich weiß, dass ein Ring Z/155 immer von 0 bis 154 geht, da ja 155 und alle Vielfachen auch wieder 0 mod 155 sind, richtig?
Theoretisch würde ja die Formel für die Einheit lauten: (a · b) mod 155 = 1, richtig? Das hieße ja a · b = 156 oder ein Vielfaches.
Nun ist die Zahl aber so groß, dass ich bei Weitem nicht im Kopf ausrechnen könnte, welche Zahl mit 60, 61 oder 62 multipliziert 1 modulo 155 ergibt, damit ich die Einheit aus einer der Zahlen bestimmen könnte. Soll ich die jetzt alle durchprobieren oder gibt es dafür eine allgemeingültige Formel?

12.07.2011, 17:20

tigerbine

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kurzer Tipp
http://de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl

12.07.2011, 17:25

taiBsu

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RE: kurzer Tipp

Zitat:

Original von tigerbine
http://de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl

Was haben Primzahlen mit der Gleichung zu tun? 155 ist doch meines Wissens nach keine Primzahl?

12.07.2011, 17:26

tigerbine

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RE: kurzer Tipp
Das habe ich auch nicht behauptet. Hast du die Links mal angesehen?

12.07.2011, 17:36

taiBsu

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Ja, heißt das jetzt, dass jede Zahl n mit 155 eine Einheit bildet, wenn der ggT(n,155)=1 ist?
Und wenn ja, bleibt mir immernoch die Frage offen, wie ich das multiplikativ Inverse berechne?

12.07.2011, 18:04

tigerbine

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RE: kurzer Tipp

Zitat:

Original von tigerbine
Das habe ich auch nicht behauptet. Hast du die Links mal angesehen?

Da bleibt danach nämlich keine offene Frage.

12.07.2011, 18:08

taiBsu

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Ich muss aber ganz ehrlich sagen, dass die Wiki-Beschreibung ganz schön hart für mich zu verstehen is... Ich dachte, hier gibt's jemanden, der das evtl. ein bisschen menschlicher erklären könnte?

12.07.2011, 18:13

tigerbine

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Was ist daran hart? Du bist Student.

Zitat:

Die primen Restklassen sind genau die multiplikativ invertierbaren Restklassen.
Die Gruppe besteht aus den Restklassen a + n \Z, deren Elemente zu n teilerfremd sind.

Das ist doch eine klare Aussage. Augenzwinkern

Zitat:

2 Berechnung der inversen Elemente

Es wird auch eine Anleitung gegeben. Augenzwinkern

Zitat:

Ein Repräsentant von b + n \Z lässt sich mit Hilfe des Erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen.

Das Stichwort ist mit einem Link versehen und führt auf ein Beispiel. Augenzwinkern

-------
Was ist an solchen konkreten Angaben "unmenschlich" oder nicht zu verstehen? Wo zeigst du im Thread mal, dass du es wenigstens versuchst umzusetzen?

Prinzip "Mathe online verstehen!"

Wir rechnen das hier nicht vor. Augenzwinkern

12.07.2011, 18:29

taiBsu

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Nungut, ich hab mich mal rangemacht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
$\begin{eqnarray*} ggT(60,155)=5, denn: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 155 = 2 * 60 + 35 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 60 = 1 * 35 + 25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 35 = 1 * 25 + 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 25 = 2 * 10 + 5 \end{eqnarray*}$ <--- ggT
$\begin{eqnarray*} 10 = 2 * 5 + 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ggT(61,155)=1, denn: \end{eqnarray*}$ <--- Einheit
$\begin{eqnarray*} 155 = 2 * 61 + 33 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 61 = 1 * 33 + 28 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 33 = 1 * 28 + 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 28 = 5 * 5 + 3 \end{eqnarray*}$ <---
$\begin{eqnarray*} 5 = 1 * 3 + 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 = 1 * 2 + 1 \end{eqnarray*}$ <--- ggT
$\begin{eqnarray*} 2 = 2 * 1 + 0 \end{eqnarray*}$

Haut das hin?

12.07.2011, 18:33

tigerbine

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Zitat:

Welche der drei Zahlen 60, 61, 62 ist eine Einheit in diesem Ring?

In dem Ring ist n=155. Im ersten Link steht, die Einheiten sind genau die zu 155 teilferfremden Zahlen. Um dir die Auswahl zu vereinfachen, hatte ich dir die Primzahlen verlinkt. Welche der 3 ist prim? Wie lauten die Primfaktorzerlegungen der anderen beiden Zahlen und die von 155?

Warum hast du dich also für 60 als Einheitskandidat entschieden? Um den offensichtlichen ggT nun mittel Euklid nachzurechnen?

Euklid sollte, wie es auch im Artikel steht dazu verwendet werden, um das inverse zu berechnen. Den ggT mit 155 sollte man schon über die hier doch recht einfache Primfaktorzerlegung bestimmen [Klausur -> Zeit -> Nutzen]

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