Herleitung der Zetafunktion

12.07.2011, 18:28

angrash

Herleitung der Zetafunktion

Meine Frage:
Also ich habe ein folgendes Problem und zwar ich versuche mit Hilfe der Bernoullipolynome und Fourierreihen den Wert für $\begin{eqnarray*} \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ rauszukriegen(fuer mein Proseminar). Es ist soweit fertig jedoch komme ich bei einer Folgerung nicht voran und hoffe hier auf Hilfe. So.. mein Ansatz ist der folgende:

Ich definiere mir eine Hilfsfunktion $\begin{eqnarray*} h_m(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{e^{ikx}}{k^m} \end{eqnarray*}$ . Man sieht direkt, dass die Reihe fuer m > 1 konvergiert und fuer m > 2 ist das eine diffbare Funktion. mit $\begin{eqnarray*} h'_m(x)=ih_{m-1}(x) \end{eqnarray*}$ zudem ist $\begin{eqnarray*} h_2\ \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ da Verknuepfung stetiger Funktionen. Außerdem konvergiert $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ in jedem kompakten Teilintervall von $\begin{eqnarray*} ]0,2\pi[ \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergiert. Damit folgt

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{2\pi}h_m(x) dx = \frac{1}{i}(h_{m+1}(2\pi)-h_{m+1}(0))=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \qquad\qquad \ m\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1}B_k(t)dt = B_{k+1}(1)-B_{k+1}(0)= 0 \end{eqnarray*}$ , wobei die Bk`s Bernoullipolynome sind. So nun kommt der eigentliche Knackpunkt. Wenn man jetzt diese Funktion anguckt:

$\begin{eqnarray*} b_m(x)=2(-1)^m\frac{m!}{(2\pi)^m}Im(i^{m-1}h_m(2\pi x)) \end{eqnarray*}$ /zitat : Man sieht sofort, dass $\begin{eqnarray*} b_1(x)=x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist.

WARUM?

Meine Ideen:
Also ich habe schon Versucht $\begin{eqnarray*} Im(h_1(x))=Im(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{e^{2\pi k x}}{k}) \end{eqnarray*}$ das umzuformen zu $\begin{eqnarray*} Im(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{cos(2\pi k x)+isin(2\pi k x)}{k}) \end{eqnarray*}$ , wobei der Imaginaerteil ja nur der sinusterm ist .. aber weiter weiß ich auch nicht.

13.07.2011, 00:10

Abakus

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RE: Herleitung der Zetafunktion
Hallo,

letzteres wird für x=0 ja sogar falsch, oder darf das nicht eingesetzt werden? Habt ihr die Bernoulli-Polynome nicht sukzessive definiert, so dass der Fall m=1 ein Induktionsanfang ist oder so?

Abakus smile

13.07.2011, 00:17

angrash

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ja eigentlich schon da $\begin{eqnarray*} x\in[-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ ist aber so stand es halt im buch, dass man sofort sieht, dass
b1(x) = x - 0.5 und ja das ist mir auch schon aufgefallen.. ka wie man das genau umformt..

13.07.2011, 00:33

Abakus

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Kannst du rausfinden, wie $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ definiert ist und ob dies unbedingt mit dieser $\begin{eqnarray*} b_m \end{eqnarray*}$ Formel definiert sein soll?

Abakus smile

13.07.2011, 00:37

angrash

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$\begin{eqnarray*} b_1(x) = x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist das erste bernoulli polynom und wenn es nicht mit der oberen funktion zu tun hat.. weiß ich dann nicht was mir $\begin{eqnarray*} b_1(x) \ und \ b_m(x) \end{eqnarray*}$ bringen.. bzw warum ich genau diese funktion betrachten muss

ich kann aber morgen euch die seite aussem buch ausdrucken und einscannen.. habe daas buch jetzt nicht da.. nur inner uni..

13.07.2011, 00:55

Abakus

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Eine Möglichkeit ist das hier (Wiki).

Abakus smile

13.07.2011, 00:58

angrash

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ja genau von der definition bin ich ausgegangen? gibt da noch mehr definitionen?

13.07.2011, 01:21

Abakus

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OK, nehmen wir an, $\begin{eqnarray*} x \ne 0 \end{eqnarray*}$ . Dann lautet die Frage:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(2 \pi kx)}{k} =~ ? \end{eqnarray*}$

Wirklich offensichtlich ist das nicht.

Abakus smile

PS: für heute zu spät fürs weitermachen für mich.

13.07.2011, 18:17

Abakus

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Du müsstest dir nun die rechte Seite der Summe als Funktion von x mal hinschreiben und diese dann in eine Fourierreihe entwickeln. Wenn die Summe rauskommt, hast du es gezeigt (bis auf den Funktionswert bei 0, den du noch getrennt untersuchen kannst).

Abakus smile

13.07.2011, 18:33

angrash

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also $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{sin(2\pi kx)}{k} \end{eqnarray*}$ und dafuer nun die fourrierkoeffizienten bestimmen?

13.07.2011, 19:44

Abakus

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RE: Herleitung der Zetafunktion

Zitat:

Original von angrash
So nun kommt der eigentliche Knackpunkt. Wenn man jetzt diese Funktion anguckt:

$\begin{eqnarray*} b_m(x)=2(-1)^m\frac{m!}{(2\pi)^m}Im(i^{m-1}h_m(2\pi x)) \end{eqnarray*}$ /zitat : Man sieht sofort, dass $\begin{eqnarray*} b_1(x)=x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist.

...

$\begin{eqnarray*} Im(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{cos(2\pi k x)+isin(2\pi k x)}{k}) \end{eqnarray*}$

Da habe ich mich ungenau ausgedrückt. Ich meine, dass du einfach versuchen solltest "rückwärts" zu rechnen.

Setze das mal ineinander ein oben alles, also mit m=1 hast du:

$\begin{eqnarray*} x-\frac{1}{2} = 2(-1)^1\frac{1!}{(2\pi)^1} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(2 \pi kx)}{k} \end{eqnarray*}$

(richtig eingesetzt?)

Jetzt alles nach der Reihe umstellen, dann weißt du (rückwärtsgerechnet) erstmal was die Reihe darstellen müsste. Das kannst du dann versuchen zu beweisen, indem du dir die Fourierreihe anschaust.

Abakus smile

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