Hüllenformel - Optimierungsproblem

12.07.2011, 19:31

AlbertH

Hüllenformel - Optimierungsproblem

Hallo,

ich studiere VWL und bereite mich gerade auf die Mathe II Prüfung vor. Jetzt habe ich folgendes Problem:

Gegeben.: eine Familie von Optimierungsproblemen $\begin{eqnarray*} min\left\{(x_1-r_1)^4+(x_2-r_2)^4 ; x_2-X_1=0\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{r}=(1,2) \end{eqnarray*}$ .

Gesucht: die erste Komponente von $\begin{eqnarray*} grad\;g*(\vec{r}) \end{eqnarray*}$ ?

( $\begin{eqnarray*} g*(\vec{r}) \end{eqnarray*}$ bezeichnet den minimalen Wert der Fkt. g(x,r))

Als Hinweis zu dieser Aufgabe steht noch: "Sie können g*(r) explizit bestimmen, also ohne die Hüllenformel."

Die Lösung soll sein: "-1/2". Egal wie ich es probiere, ob mit oder ohne Hüllenformel, ich komme immer auf die Lsg. "0".

Mein Ansatz war: Der Lösungspunkt der r-ten Optimierungsaufgabe ist $\begin{eqnarray*} x*=r_1 \end{eqnarray*}$ mit dem minimalen Wert 0, daher $\begin{eqnarray*} g*(r)=0 \end{eqnarray*}$ und ebenso die Komponenten von $\begin{eqnarray*} grad\;g*(\vec{r}) \end{eqnarray*}$ .

Wer kann mir helfen? Ich danke euch!

Liebe Grüße, AlbertH

12.07.2011, 23:30

Abakus

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RE: Hüllenformel - Optimierungsproblem
Hallo,

wie ist denn diese Funktion g erstmal definiert?

Abakus smile

13.07.2011, 09:05

AlbertH

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RE: Hüllenformel - Optimierungsproblem
$\begin{eqnarray*} g(x,r)=(x_1-r_1)^4+(x_2-r_2)^4 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich die nun nach x1 ableite und gleich 0 setze, bekomme ich x*=r1. Leite ich dann g(x*,r1) nach r1 ab und setze anschließend x* ein, wird das Ding 0. Und ich komme nicht mehr weiter.
Würde es mir helfen, wenn ich $\begin{eqnarray*} g(x_1,r)=(x_1-r_1)^4+(x_1-r_2)^4 \end{eqnarray*}$ nach x1 ableite? Dann bekomme ich allerdings ein kompliziertes $\begin{eqnarray*} x*(r_1,r_2) \end{eqnarray*}$ .

13.07.2011, 20:36

Abakus

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RE: Hüllenformel - Optimierungsproblem

Zitat:

Original von AlbertH
Gegeben.: eine Familie von Optimierungsproblemen $\begin{eqnarray*} min\left\{(x_1-r_1)^4+(x_2-r_2)^4 ; x_2-X_1=0\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{r}=(1,2) \end{eqnarray*}$ .

Mal einfach und ohne komplizierte Bezeichnungen: setze $\begin{eqnarray*} x_1 := x, x_2 := x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_1 := 1, r_2 := 2 \end{eqnarray*}$ .

Dann hast du als Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} Min: ~ (x - 1)^4 + (x - 2)^4 \end{eqnarray*}$

Letzteres solltest du lösen können.

Abakus smile

13.07.2011, 23:50

AlbertH

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Meinen Dank Abakus! Jetzt konnte ich's lösen. Freude

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