Körper mit 4 Elementen

12.07.2011, 20:13

Roonex

Körper mit 4 Elementen

Aufgabe:

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb F _{2}[t]/<t^{2}+t+1> \end{eqnarray*}$ ein Körper mit 4 Elementen ist.

Ich muss mir also klarmachen wie dieser Körper aussieht.

Meine Überlegungen:

Habe zuerst das Erzeugnis $\begin{eqnarray*} <t^{2}+t+1> \end{eqnarray*}$ betrachtet:

$\begin{eqnarray*} <t^{2}+t+1> = \left\{ \sum\limits_{i=1}^n f_{i} \cdot (t^{2}+t+1)|f_{i} \in \mathbb F_{2}[t] , n \in \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f_{i} \end{eqnarray*}$ hätte dann die Form $\begin{eqnarray*} t^{n}+t^{n-1}+ ... + t + 1 \end{eqnarray*}$ wobei manche Summanden $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein können (Weil es kommen ja nur $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ als Koeffizienten in Frage).

Und schließlich kommt dann bei mir heraus:

$\begin{eqnarray*} \mathbb F _{2}[t]/<t^{2}+t+1> = \left\{g \cdot \sum\limits_{i=1}^n f_{i} \cdot (t^{2}+t+1)|g, f_{i} \in \mathbb F_{2}[t] , n \in \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$ .

Ok, und inwiefern kann ich jetzt sehen dass die Menge nur 4 Elemente hat? Mir kommts so vor als gäbs da immer noch unendlich Möglichkeiten verwirrt

Please help! Augenzwinkern

13.07.2011, 02:47

Mulder

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RE: Körper mit 4 Elementen
Deine Interpretation von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[t]/(t^2+t+1) \end{eqnarray*}$ ist etwas daneben. Es handelt sich hier um einen Faktorring, oder auch Restklassenring. Dabei wird der Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[t] \end{eqnarray*}$ modulo einem Ideal betrachtet, dessen Erzeuger hier das Polynom $\begin{eqnarray*} t^2+t+1 \end{eqnarray*}$ ist. Wie sieht dieser Restklassenring also aus? Welche Restklassen kann es da überhaupt geben?

Die Koeffizienten können nur 0 und 1 sein, das schränkt die Möglichkeiten ziemlich ein.

Ist R ein Ring und p irreduzibel in R, dann ist R/pR ein Körper. Ist das bekannt?

Auf diese Weise lassen sich ja auch endliche Körper konstruieren.

13.07.2011, 16:19

Roonex

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Also das erzeugte Ideal haben wir als eine Menge von endlichen Summen definiert, wobei die Summanden Produkte aus Elementen des Ringes (in dem Fall $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2}[t] \end{eqnarray*}$ ) und Elementen aus der Menge M sind (in diesem Fall nur ein Element und das ist $\begin{eqnarray*} t^{2}+t+1 \end{eqnarray*}$ )

Das wäre dann das Ideal. Und dann ist doch der Faktorring die Menge, in der ein Element aus dem Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2}[t] \end{eqnarray*}$ mit dem Ideal multipliziert wird?

Und jetzt sollen das insgesamt nur 4 verschiedene Elemente sein.

Den Begriff irreduzibel haben wir in der letzten Vorlesung eingeführt, aber noch nicht so richtig in den Kontext mit Körpern usw. gebracht. Sehe jetzt auf Anhieb nicht wie mir das in der Aufgabe helfen könnte...

13.07.2011, 17:00

Mulder

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Wie schon gesagt: Du hast die Konstruktion des Restklassenrings einfach nicht verstanden. So kannst du die Aufgabe nicht bearbeiten. Die Elemente in diesem Ring sind Restklassen. Und zwar Restklassen modulo dieses Ideals, das von t²+t+1 erzeugt wird. Welche Reste kann es bei Division durch t²+t+1 überhaupt geben? Welchen Grad kann ein solches "Restpolynom" überhaupt maximal haben? Und nach wie vor gibt es nur zwei mögliche Koeffizienten: 0 und 1.

Faktorring

Vielleicht versuchst du erstmal, dich von den Polynomen zu lösen und nochmal zurückzugehen zu den ganz einfachen Fällen, wie etwa $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Auch das sind Faktorringe (sogar Körper, aber das ist nicht immer so, zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 4 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ kein Körper). Vielleicht fällt es dir dann leichter, das auf den Fall von Polynomringen zu übertragen.

Das Ideal ist einfach

$\begin{eqnarray*} (t^2+t+1) = \left \{ f \cdot [t^2+t+1] \big \vert f \in \mathbb F_2[t] \right \} \end{eqnarray*}$

Und wenn du da jetzt nochmal irgendein g aus F2[t] dranmultiplizierst, veränderst du diese Menge doch überhaupt nicht, wenn g auch beliebig aus F2[t] sein darf.

Faktorring unbedingt klar machen. Sonst fällst du in der Algebra überall auf die Schnauze.

13.07.2011, 17:38

Roonex

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Ja, finde diese Faktorgeschichte manchmal doch sehr abstrakt unglücklich

Stelle mir das immer so als Lückenfüller vor, also z.B. bei $\begin{eqnarray*} \mathbb R /\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , dass die Äquivalenzklassen gerade die reelen Zahlen zwischen 0 und 1 sind (also wenn man den Vertreter vereinfacht). (Ja, ich weiß, sind dann keine Zahlen, sondern deren Klassen).
Wobei diese Vorstellung wahrscheinlich nur für wenige Fälle hilfreich ist...

Und was hat es mit der Division zu tun? Irgendwo hab ich das schonmal gesehen, dass man diesen Querstrich zwischen z.B. Obergruppe und Untergruppe direkt als Divisionsstrich missbraucht...

In der Aufgabe hab ich glaub ich die Schwierigkeit, dass ich mir erst die ganze Menge aufbaue und danach versuche das auf 4 Teile zu reduzieren... oder auch keine Ahnung hab wie die Klassen aussehen könnten unglücklich

13.07.2011, 17:58

Mulder

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Hast du dir den Link angesehen? Dort das zweite Beispiel ist doch genau so ein Faktorring modulo so einem Polynom. Da steht doch genau dabei, wie der Restklassenring aussieht. Demzufolge ist

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[t]/(t^2+t+1) = \left \{ g + (t^2+t+1) \, \bigg \vert \, g \in \mathbb F_2[t] \right \} \end{eqnarray*}$

Die Elemente in diesem Ring sind keine einzelnen Polynome, sondern ganze Klassen von Polynomen. Und tatsächlich erhält man insgesamt nur vier verschiedene Klassen. Denn ein simples Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 1+ (t^2+t+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t^2+t+(t^2+t+1) \end{eqnarray*}$ sind genau die gleichen Klassen. In einer gleichen Klasse liegen eben alle Polynome, die bei Division durch t²+t+1 den gleichen Rest lassen.

Und nun nochmal: Welche Reste kann es überhaupt geben? Der Grad spielt hier eine Rolle.

Edit: Damit das klar wird: Alles, was ich in runden Klammern schreibe, sind in diesem Fall Ideale.

13.07.2011, 18:15

Roonex

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Ok, mit der Mengenschreibweise vom Faktorring kann ich mich anfreunden.

Das Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 1+(t^{2}+t+1) = t^{2}+t \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} t^{2}+t+(t^{2}+t+1) = 1 \end{eqnarray*}$

Wie sieht denn der Rest aus bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t^{2}+t+1} \end{eqnarray*}$ ?

Wie funktioniert denn da die Division?

Beim ersten krieg ich raus:

$\begin{eqnarray*} (t^{2}+t)/(t^{2}+t+1) = 1 \end{eqnarray*}$ Rest $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

Edit: Ah, hab jetzt erst deinen Edit gesehen... Ok dann kann das obere ja nicht stimmen.

13.07.2011, 18:20

Mulder

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Zitat:

Original von Roonex
Das Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 1+(t^{2}+t+1) = t^{2}+t \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} t^{2}+t+(t^{2}+t+1) = 1 \end{eqnarray*}$

Siehe den Edit in meinem letzten Beitrag. So kannst du das nicht schreiben. Das in den runden Klammern sind bei mir Ideale. Du kannst auch diese < > nehmen, wenn ihr das in der VL so schreibt. Ich habe mich an runde Klammern gewöhnt.

Zitat:

Original von Roonex
Beim ersten krieg ich raus:

$\begin{eqnarray*} (t^{2}+t)/(t^{2}+t+1) = 1 \end{eqnarray*}$ Rest $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

Und analog:

$\begin{eqnarray*} 1/(t^{2}+t+1) = 0 \end{eqnarray*}$ Rest $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

Also gleicher Rest.

Edit: Weil ich das überlesen hatte, noch ein Hinweis: Z ist kein Ideal auf R, daher ist sowas wie R/Z in diesem Zusammenhang sinnlos. Da R ein Körper ist, hat R ohnehin nur zwei Ideale, und das sind die beiden trivialen Ideale {0} und R selbst. Das gilt für jeden Körper, das kann man leicht zeigen.

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