schwache Konvergenz

12.07.2011, 20:57

Gast124

schwache Konvergenz

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe und leider keinen Schimmer unglücklich

Es seien $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ iid. verteilte Zufallsvariablen und $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ gleichverteilt auf [0,1].
Zeige: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\Pi_{i=1}^n X_i} \end{eqnarray*}$ konvergiert P-f.s. gegen $\begin{eqnarray*} \frac {1}{e} \end{eqnarray*}$

Danke!

13.07.2011, 15:16

Gast124

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Entschuldigung für den unpassenden Titel. Wie der Kenner gleich sieht, hat das mit schwacher Konvergenz nicht allzu viel zu tun!

Würde mich freuen wenn euch noch was einfällt!

13.07.2011, 15:34

René Gruber

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Betrachte doch statt $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ die logarithmierten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} \ln(X_i) \end{eqnarray*}$ , d.h. deren Verteilung. Es ist dann nämlich

$\begin{eqnarray*} \ln\left( \sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^n X_i} \right) = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \ln(X_i) \end{eqnarray*}$ ,

und dann kannst du mit dem Gesetz der großen Zahlen argumentieren.

13.07.2011, 17:17

Gast124

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Gute idee!
Aber was ist mit X=0? Als Verteilung war mir die gleichverteilung auf dem abgeschlossenem Intervall [0,1] gegeben.

13.07.2011, 19:27

René Gruber

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Zitat:

Original von Gast124
Aber was ist mit X=0?

Was soll damit sein?

Einzelne Punkte sind bei einer stetigen Verteilung - wie sie hier vorliegt - doch nun wirklich vernachlässigbar (etwa bei "Definitionsproblemen" wie hier bei $\begin{eqnarray*} \ln(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X=0 \end{eqnarray*}$ ).

14.07.2011, 20:30

Gast124

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Wer mitdenkt ist klar im Vorteil Augenzwinkern