Stammfunktion einer e-funktion gesucht

12.07.2011, 22:06

punk.abryss

Stammfunktion einer e-funktion gesucht

Hallo liebe Leute ich stecke mitten in einer Aufgabe fest und komm nicht vor und nicht (Naja zurück bringt ja niX).
Also: um weiter zu rechnen brauche ich wahrscheinlich die Stammfunktion zu.
$\begin{eqnarray*} e^{2\sin(x)} \end{eqnarray*}$
Leider habe ich keine Ahnung wie die aussieht; Tabellen- und Tafelwerke versagen, bzw. offenbaren sich mir nicht.
Wer mich erleuchten möchte, darf sich hiermit angesprochen fühlen.

Schönen Gruß

punk.abryss

12.07.2011, 22:58

Lampe16

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Ich vermute, dass die Lösung nicht mit den üblichen Funktionen darstellbar ist. Meine Algebra-Software kennt auch keine. Aber vielleicht weiß hier doch noch einer eine.

12.07.2011, 23:02

Abakus

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht

Zitat:

Original von punk.abryss
Also: um weiter zu rechnen brauche ich wahrscheinlich die Stammfunktion zu.
$\begin{eqnarray*} e^{2\sin(x)} \end{eqnarray*}$

Hallo,

vermutlich lässt sich die Stammfunktion mit elementaren Funktionen nicht angeben.

Abakus smile

edit: Lampe war schneller smile

12.07.2011, 23:14

punk.abryss

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht
Hm, Scheibenkleister!
Wäre ja auch zu einfach gewesen. Dann muss der Fehler wohl weiter vorne passiert sein.
Also doch zurück.
Zu bestimmen ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} y'+2y\cos(x)=0 \end{eqnarray*}$

mein Ergebnis lautet:

$\begin{eqnarray*} y=k*e^{-2\sin(x)}+C \end{eqnarray*}$

kann das wohl jemand verifizieren?

Schönen Gruß
punk.abryss

12.07.2011, 23:24

Abakus

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht
Wo hast du das C her? Und für welche x gilt deine Lösung?

Abakus smile

12.07.2011, 23:34

punk.abryss

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht
Na das C hab ich einfach so aus dem Hut gezaubert. Ich dachte das gehört da hin, da es ja eine allg. Lösung werden soll.
Und für welche x? Tja, gute Frage, um ehrlich zu sein weiß ich auch das nicht.
Ich versuche hier eine Art Standartlösung anzuwenden die man mir heute morgen beigebracht hat und von der behauptet wird sie sei für jede DFG der Art:

$\begin{eqnarray*} y'+f(x)*y=g(x) \end{eqnarray*}$

anwendbar.

Falls das hier nicht zutrifft habe ich mich wohl in der Aufgabe vergriffen. (Allerdings steht sie noch ziehmlich weit vorne in meinen Unterlagen)

Schönen Gruß
punk.abryss

12.07.2011, 23:41

punk.abryss

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht
Genaueres Drübernachdenken führt zu der Frage:
Kann es wohl sein dass das ebenso unbestimmte k das C obsolet macht?
In diesem Fall wäre ich natürlich sofort bereit mich von meinem C zu trennen.

12.07.2011, 23:45

Abakus

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht
Kannst du die einzelnen Schritte deines Vorgehens aufschreiben? Dann merkst du schon, dass das C woanders stehen muss.

Und natürlich musst du immer fragen, für welche x bzw. y deine Rechenschritte jetzt gelten. Möglich, dass du Glück hast, aber hier zB y=0 klappt in deiner Rechnung ja nicht, wenn du durch y teilst.

Abakus smile

12.07.2011, 23:56

punk.abryss

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht
OK, ich widerrufe!
mein erster Schritt lautet:

$\begin{eqnarray*} y=k*e^{-\int \! 2cos{x} \, dx } \end{eqnarray*}$

weshalb ich nun behaupte das C stünde eine Etage weiter oben, eben so:

$\begin{eqnarray*} y=k*e^{-2\sin(x)+C} \end{eqnarray*}$

Korrekt?

13.07.2011, 00:01

Abakus

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht
Ja, wobei sich das noch auseinanderziehen lässt; hier ist dann die Frage, wo das k herkommt? Meistens hat man bei einer DGL erster Ordnung nämlich nur eine Konstante.

Abakus smile

13.07.2011, 00:16

punk.abryss

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht
Das k kommt auch aus meinem eben schon strapazierten Hut. Ich wäre auch bereit auf das C zu verzichten, da es soweit ich das überblicken kann erst mal nicht mehr benötigt wird.
Und sollte ich wieder eins brauchen nehme ich mir einfach ein neues (Ich hab noch reichlich ....CCCCCCCCCC)

Dann ist die "C lose" Lösung jetzt also richtig?

Die nächste Frage lautet nämlich ob y = 1/2 eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL:

$\begin{eqnarray*} y'+2y\cos(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

ist?
Um das zu klären wollte ich erstmal die allg. Lösung für diese Gleichung suchen.

13.07.2011, 00:21

punk.abryss

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht
Die nächste Zeile lautet (bei mir) also:

$\begin{eqnarray*} k(x)=\int \! cos(x)* \frac{1}{e^{2\sin(x) } } \, dx \end{eqnarray*}$

Ich mach dann einfach mal ein Fragezeichen

?

13.07.2011, 00:27

Abakus

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht

Zitat:

Original von punk.abryss
Dann ist die "C lose" Lösung jetzt also richtig?

Das C weglassen? Auf keinen Fall, und diese Frage ist hier erstmal zu klären: wichtig ist nämlich, welche Werte dieses C überhaupt annehmen kann auch.

Abakus smile

13.07.2011, 00:33

punk.abryss

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht
Also da mach ich's mir leicht:
Das C ist Element von R. Das war in allen Unterrichtsaufgaben so. Diese Begründung mag fachlich hinken, ist für meine Zwecke aber völlig ausreichend.

13.07.2011, 00:49

Abakus

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht
Du hast im Verlauf deiner Rechnung nach der Integration da stehen:

$\begin{eqnarray*} \ln y = -2 \sin x + C \end{eqnarray*}$

Dabei ist das y>0 (y<0 analog).

Wenn du das exponentierst:

$\begin{eqnarray*} y = e^{-2 \sin x + C} = K \cdot e^{-2 \sin x} \end{eqnarray*}$

Die Konstante K kann dabei nur echt positiv sein. Wenn du hier alle reellen Zahlen zulässt, gibt das diese Rechnung nicht her. Ggf. kriegst du das über den analogen Fall, aber du musst hier schon erstmal alle Fälle untersuchen (auch noch y=0).

Abakus smile

13.07.2011, 01:01

punk.abryss

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht
Hey Abakus, vielen Dank, aber das führt zu niX mehr. Da müssten wir jetzt mit Adam und Eva im Urschleim anfangen. Ich kann nur ganz profanes Einsetzen -> Ausrechnen. Und manchmal auch das nicht. Wenn jetzt hier noch Fälle und weiß er Geier was noch dazu kommen bin ich nicht zu stolz, die Fälle Fälle, die Gleichung Gleichung und den lieben Gott ' nen guten Mann sein zu lassen und mich in's Bett zu verabschieden.

Also nochmals Vielen Dank aber
Ich kapituliere

Schönen Gruß
punk.abryss

13.07.2011, 10:31

Lampe16

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Auch bei Übergang ins Komplexe komme ich mit

$\begin{eqnarray*} I(x)=\int e^{2\sin(x)} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

nicht weiter. Ich wollte mir das Biest aber wenigstens mal anschauen und habe deshalb

$\begin{eqnarray*} J(x)=\int( e^{2\cos x} - \overline{e^{2\cos x}} )\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

numerisch gelöst, s. Graph.

Der Mittelwert des periodischen Integranden beträgt ca. 2.2795853.

13.07.2011, 10:59

Lampe16

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Zitat:

Original von punk.abryss
Hm, Scheibenkleister!
Wäre ja auch zu einfach gewesen. Dann muss der Fehler wohl weiter vorne passiert sein.
Also doch zurück.
Zu bestimmen ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} y'+2y\cos(x)=0 \end{eqnarray*}$

mein Ergebnis lautet:

$\begin{eqnarray*} y=k*e^{-2\sin(x)}+C \end{eqnarray*}$

kann das wohl jemand verifizieren?

Vor lauter Fauchen des Biests habe ich deine eigentliche Aufgabenstellung übersehen.

Antwort: Ich verifiziere mit $\begin{eqnarray*} C=0 \end{eqnarray*}$ .

13.07.2011, 11:44

punk.abryss

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Hallo Lampe16
eigentlich wollte ich ja aufgeben und die Sache, unter ferner liefen, lassen wo der Pfeffer wächst. Aber jetzt zitiere ich mich doch noch mal selbst:

Zitat:

Original von punk.abryss
Das k kommt auch aus meinem eben schon strapazierten Hut. Ich wäre auch bereit auf das C zu verzichten, da es soweit ich das überblicken kann erst mal nicht mehr benötigt wird.
Und sollte ich wieder eins brauchen nehme ich mir einfach ein neues (Ich hab noch reichlich ....CCCCCCCCCC)

Dann ist die "C lose" Lösung jetzt also richtig?

Die nächste Frage lautet nämlich ob y = 1/2 eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL:

$\begin{eqnarray*} y'+2y\cos(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

ist?
Um das zu klären wollte ich erstmal die allg. Lösung für diese Gleichung suchen.

In der nächsten Zeile setze ich also das oben erhaltene Ergebnis (ohne C) ein. Und zwar in eine Gleichung der Form:

$\begin{eqnarray*} k(x)=\int \! g(x) *\frac{1}{e^{-\int \! f(x) \, dx } } \, dx \end{eqnarray*}$

13.07.2011, 11:58

punk.abryss

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Womit man bei:

$\begin{eqnarray*} k(x)=\int \! cos(x)* \frac{1}{e^{-2\sin(x) } } \, dx \end{eqnarray*}$

wäre.
Was wiederum das gleiche ist wie:

$\begin{eqnarray*} k(x)=\int\! cos(x) *e^{2sinx} \, dx \end{eqnarray*}$

Richtig?

13.07.2011, 12:04

Lampe16

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Zitat:

Original von punk.abryss

Die nächste Frage lautet nämlich ob y = 1/2 eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL:

$\begin{eqnarray*} y'+2y\cos(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

ist?
Um das zu klären wollte ich erstmal die allg. Lösung für diese Gleichung suchen.

Wenn du versuchsweise y'=0 in die DGl. einsetzt, fällt y=1/2 als (konstante) Lösung an. Und wenn z.B. die allgemeine Lösung weitere Terme enthält, was hier zutrifft, ist 1/2 eine spezielle Lösung.

Also, die Antwort lautet wieder: Ja.

13.07.2011, 12:15

punk.abryss

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Ist das y' = 0 setzen denn eine allgemeine Vorgehensweise bei dieser Frage, oder macht man das hier nur weil es sich grade so hübsch anbietet?

13.07.2011, 12:16

Lampe16

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Antwort auf deinen 11:58 - Beitrag: Ja!

13.07.2011, 12:19

Lampe16

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Zitat:

Original von punk.abryss
Ist das y' = 0 setzen denn eine allgemeine Vorgehensweise bei dieser Frage, oder macht man das hier nur weil es sich grade so hübsch anbietet?

Das ist überhaupt nicht allgemein. Man kann es aber immer mal versuchen.

13.07.2011, 12:27

punk.abryss

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Zitat:

Original von Lampe16
Antwort auf deinen 11:58 - Beitrag: Ja!

SUPER!

Dann sind wir jetzt genau an dem Punk wegen dem ich den Thread eigentlich begonnen habe.
Denn wenn ich dieses Integral nun ausrechnen will muss ich partiell integrieren (muss ich doch?)
Ich setze also:

$\begin{eqnarray*} u=cosx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=-sinx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=e^{2sinx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v= ??? \end{eqnarray*}$

und zur Klärung dieser drei ??? muss ich $\begin{eqnarray*} v'=e^{2sinx} \end{eqnarray*}$ integrieren. Und da verlassen sie mich.

13.07.2011, 12:39

Lampe16

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Ich habe schon sehr lange nicht mehr partiell integriert. Aber das (Algebra-Tooolbox-)Ergebnis ist

$\begin{eqnarray*} \int\cos x \mathrm e^{2\sin x}\mathrm dx=\frac{1}{2}e^{2\sin x}. \end{eqnarray*}$

Falls du selbst mit sowas zur Kontrolle arbeitest, hilft dir das natürlich nicht. Ich vermute jetzt aber, dass es doch einen analytischen Weg zu diesem Integral gibt.

Nachtrag: Kannst du vielleicht die Rollen von u und v vertauschen.

13.07.2011, 12:42

Gasthelfer

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Hier liefert eine einfache Substitution bereits das gewünschte - partielles Integrieren verschiebt das nur unausweichlich.

13.07.2011, 12:48

punk.abryss

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Zitat:

[i]

Nachtrag: Kannst du vielleicht die Rollen von u und v vertauschen.

Das Vertauschen scheint mir eine sehr hässliche Geschichte zu werden:

$\begin{eqnarray*} u=e^{2sinx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=2cosx*e^{2sinx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=cosx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=sinx \end{eqnarray*}$

daran ficht mich besonders das u' an. Das landet dann gemeinsam mit v hinten im Integral und muss erneut integriert werden. Na und dann hat man irgendwann einen völlig Übersichts freien Bandwurm.

Hmm?

13.07.2011, 13:01

Lampe16

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Gasthelfer haut den Knoten durch. Ersetze den Exponenten durch eine neue Integrationsvariable.

13.07.2011, 13:05

punk.abryss

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Zitat:

Original von Gasthelfer
Hier liefert eine einfache Substitution bereits das gewünschte - partielles Integrieren verschiebt das nur unausweichlich.

Durchaus möglich, nur bin ich mit dem "einfach" alles andere als einverstanden.

13.07.2011, 13:20

Lampe16

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$\begin{eqnarray*} y=\sin x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm dx=\mathrm dy/\cos x \end{eqnarray*}$

Jetzt geht es vielleicht?

13.07.2011, 13:22

punk.abryss

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OK, war tatsächlich nicht so schwer.
Ich hatte nur zu erst an der falschen Stelle substituiert.
Ja Wahnsinn, hätte ja nicht mehr geglaubt dass aus dieser Aufgabe noch eine Lösung entsteht.
Vielen Dank Lampe16 und an Gasthelfer für den rettenden Einfall.

Viele Grüße
punk.abryss

13.07.2011, 18:30

Abakus

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RE: Stammfunktion einer e-funktion gesucht

Zitat:

Original von punk.abryss
Die nächste Frage lautet nämlich ob y = 1/2 eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL:

$\begin{eqnarray*} y'+2y\cos(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

ist?

Die Antwort ist ein Ja. Und das Ganze ist kein Grund um aufzugeben (höchstens zum Überschlafen, war einfach zu spät); nur sowas muss schon genau gerechnet werden.

Hier hast du einfach getrennte Variable:

$\begin{eqnarray*} y' = \cos x - 2y \cos(x) = \cos x \cdot (1 - 2y) \end{eqnarray*}$

Also auch:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{1 - 2y} = \cos x~~ dx \end{eqnarray*}$

Letzteres kannst du lösen, du brauchst noch nichtmal die homogene Lösung.

Abakus smile

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