Trigonometrische Gleichung

12.07.2011, 22:20	xparet0209	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Gleichung Hi liebe matheboard user ich steh momentan vor einer Lösung, die für mich nicht nachvollziehbar ist. Folgende Aufgabe: 7sin^2(2a)+10sin^2(a)= 11 WolframAlpha spuckt recht merkwürdige Ergebnisse aus, die allerdings richtig sind http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sol...28a%29%3D+11%29 Jedoch kann ich den Rechenweg nicht nachvollziehen. Daher meine Frage: Könntet Ihr mir helfen den Lösungsweg zu ermitteln? Ich weiß momentan nämlich nicht wie ich sin(2a) und sin(a) zusammen bringen soll . mfg xparet0209
12.07.2011, 22:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wende ein Additionstheorem an: $\begin{eqnarray} \sin 2x = 2 \sin x \cos x \end{eqnarray}$ Schließlich erreichst du mit $\begin{eqnarray} \cos^2x = 1 - \sin^2 x \end{eqnarray}$ eine biquadratische Gleichung in sin(x). mY+
12.07.2011, 23:02	xparet0209	Auf diesen Beitrag antworten »
Dank für die schnelle Antwort. Bei mir kommt komischerweise was anderes raus als bei WolframAlpha -.-" $\begin{eqnarray} 7sin^2(2a)+10sin^2(a)= 11 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 7(2sin(a)cos(a))^2+10sin^2(a)=11 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 28sin^2(a)(1-sin^2(a))+10sin^2(a)=11 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 28sin^2(a)-28sin^4(a)+10sin^2(a)=11 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -28sin^4(a)+38sin^2(a)-11=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x:=sin^2(a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -28x^2+38x-11=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2-\frac{38}{28}x+\frac{11}{38} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1;2}= \frac{38}{56}\pm \sqrt{(\frac{38}{56})^2-\frac{11}{38}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = sin^{-1}(\sqrt{x_{1;2}}) \end{eqnarray*}$ Wenn ich nun die Werte einsetze kommt als Näherung nicht 0,7 raus, was WolframAlpha ausgibt.
12.07.2011, 23:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst daran denken, dass diese Gleichung viele Lösungen hat, u.a. auch rd. 0,7036. Aber auch rd. 1,32 ist zutreffend. Übrigens sind alle Werte im Bogenmaß (!). Leichter rechnet man, wenn 38/56 noch zu 19/28 gekürzt wird. So ist dann $\begin{eqnarray} \sin^2 x = \frac{19 \pm \sqrt{53}}{28} \end{eqnarray}$ mY+ EDIT: Übrigens ist bei dir noch ein Rechenfehler zu sehen! Der Bruch 11/38 ist NICHT zutreffend!
13.07.2011, 09:50	xparet0209	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke nochmals. Der falsche Nenner wars in der Tat. Das es unendlich viele Lösungen gibt ist schon klar. aber mich hatte der komplett falsche Wert gewundert. Doch nun ist ja alles ok. -closed-

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