Real- und Imaginärteil von i^(iz)

12.07.2011, 20:57

Real- und Imaginärteil von i^(iz)

Meine Frage:
Gesucht ist wie im Titel steht, der Real- und Imaginärteil der Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(z)=i^{iz} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
naja $\begin{eqnarray*} i=cos(\pi/2)+i sin(\pi/2) \end{eqnarray*}$ und das mit der Eulerformel eingesetzt führt uns unter Berücksichtigung der Potenzgesetze weiter ... oder auch nicht?

12.07.2011, 21:17

lgrizu

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RE: Real- und Imaginärteil von i^(iz)
Es ist $\begin{eqnarray*} i^i=\exp(-\frac{\pi}{2}-2 \pi k), k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} (i^i)^z=\left(\exp \left(-\frac{\pi}{2}-2 \pi k \right) \right)^z (*) \end{eqnarray*}$ .

Stellen wir z=a+bi dar so erhalten wir $\begin{eqnarray*} i^{i \cdot z}=i^{i \cdot (a+bi)}=i^{-b+ai} \end{eqnarray*}$

Mit (*) kann man dann $\begin{eqnarray*} i^{ai} \end{eqnarray*}$ ausrechnen, so dass man "nur noch" mit reellen Exponenten rechnet.

12.07.2011, 21:40

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RE: Real- und Imaginärteil von i^(iz)

Zitat:

Original von lgrizu
Es ist $\begin{eqnarray*} i^i=\exp(-\frac{\pi}{2}-2 \pi k), k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

das kommt mir halt unbekannt vor.

Vom Dozenten kam der Tipp mit: "Stellen Sie das "untere" i in Polarkoordinaten dar".
Ist mein Weg denn prinzipiell falsch?

12.07.2011, 22:14

lgrizu

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RE: Real- und Imaginärteil von i^(iz)
Prinzipiell falsch ist das nicht, aber viel mehr als den Tip deines Dozenten befolgt hast du ja nun noch nicht.

Es ist $\begin{eqnarray*} i=\cos \left( \frac{\pi}{2} \right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2} \right)=\exp \left(i \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$

Nun ist also $\begin{eqnarray*} i^i=\left(\exp\left(i \frac{\pi}{2} \right) \right)^i=\exp \left(i \cdot i \cdot \frac{\pi}{2} \right)=\exp \left( - \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

Die Sinus und Kosinusfunktion sind 2 pi periodisch.

Die Darstellung kann man also leicht sehen.

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