Basis aus Eigenvektoren bestimmen

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MatheKind Auf diesen Beitrag antworten »
Basis aus Eigenvektoren bestimmen
Hallo,
ich habe hier folgende Aufgabe:

Sei A =

Das charakteristische Polynom von A ist

Bestimmen sie eine Basis des , die aus Eigenvektoren von A besteht.


Meine Lösung (meine eigentliche Frage ist, wie man diese Basis bildet, deswegen könnt ihr ans Ende runterscrollen):

Das charackterischtische Polynom setzt sich folgendermaßen zusammen:

Eigenwerte:








Für :



Elementare Zeilenumformung:











Für :








Nun zu Basis:
Eigentlich könnte ich eine Basis aus bilden: oder sehe ich das falsch?

Dann noch eine Frage: Aus einer Musterlösung zu einer anderen Aufgabe habe ich entnommen, dass man aus den Eigenvektoren nur dann eine Basis des bilden kann, wenn die Matrix A n linear unabhängige Vektoren hat. Habe ich das richtig verstanden?! Soll ich also jedes mal prüfen, wenn gefragt wird, ob man eine Basis der Eigenvektoren bilden kann, zuerst prüfen, ob die Matrix A den Rang n hat?

Danke im Voraus für eure Antworten!

Liebe Grüße
MatheKind
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir nicht sicher, ob deine letzten Eigenvektoren stimmen, ich komme auf und .
Dass diese Vektoren zusammen mit eine Basis vom bilden, kannst du über die Matrix

zeigen.

MfG
MatheKind Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst, ich zeige einfach, dass die neu gebildete Matrix den Rang 3 hat?

Wie kommst du auf die letzten beiden Vektoren? Ich meine, bei der Matrix für kann man sich ja kaum verrechnen.
Klär mich bitte auf. smile

Liebe Grüße
MatheKind
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheKind
Ich meine, bei der Matrix für kann man sich ja kaum verrechnen.

So? verwirrt Wenn du mal deine Matrix A mit deinem vermeintlichen Eigenvektor multiplizierst, dann kommt nicht wieder raus, was aber bei einem Eigenwert 1 der Fall sein müßte.
MatheKind Auf diesen Beitrag antworten »

Was stimmt denn an dieser Gleichung nicht?



Oder ist die Matrix, die ich für erstellt habe, falsch?

Liebe Grüße
MatheKind
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nichts gegen diese Gleichung, aber du mußt einsehen, daß deine Schlußfolgerungen falsch sind. Wobei man schon fast fragen muß, ob du es jemals richtig gelernt hast, homogene Gleichungssysteme zu lösen.
 
 
MatheKind Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe das ein, wegen der Probe.
Mir stellt sich die Frage, ob nun die Eigenwerte, sprich die Nullstellen richtig sind. Aber wenn ich mir die faktorisierte Form des charakt. Polynoms ansehe und ausrechne, komme ich wieder auf das ursprüngliche charakteristische Polynom.
Die Matrix dürfte auch richtig sein.

Wo ist also der Fehler?!

Danke im Voraus für Hinweise.

Liebe Grüße
MatheKind
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis aus Eigenvektoren bestimmen
Der Fehler liegt darin, daß du offensichtlich nicht in der Lage bist, den Kern der Matrix zu bestimmen. Der Vektor - wie man leicht sieht -, ist es nicht.

Das ganze hat jetzt mit Eigenwerten (die übrigens richtig sind) nichts zu tun, sondern nur mit dem Thema "lineares Gleichungssystem lösen". Du kannst ja mal das entsprechende Kapitel in deinem Script aufsuchen.
MatheKind Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
in meinem Skript steht leider nur die abstrakte Definition des Begriffs "Kern":
Ich musste mich stets bei anderer Literatur bedienen.

Im Grunde muss das hier gelten:



Ergibt die Gleichung:



Wäre nett, wenn du mir auf die Sprünge hilfst. Im Skript steht wirklich nicht mehr als die Definition und am Freitag schreiben wir die Matheklausur. smile

Danke im Voraus.
MatheKind
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheKind
Wäre nett, wenn du mir auf die Sprünge hilfst. Im Skript steht wirklich nicht mehr als die Definition und am Freitag schreiben wir die Matheklausur. smile

Das ist echt tragisch. smile

Also wie löst man so ein Ding? Als erstes mußt du die frei wählbaren Variablen bestimmen. Etwas leichter tut man sich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt.

Das geht so:
Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen.
Alle anderen Variablen sind frei wählbar.
MatheKind Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von MatheKind
Wäre nett, wenn du mir auf die Sprünge hilfst. Im Skript steht wirklich nicht mehr als die Definition und am Freitag schreiben wir die Matheklausur. smile

Das ist echt tragisch. smile

Ja. smile

Zitat:
Das geht so:
Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen.
Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Für kann man aber die Matrix nicht in Zeilenstufenform bringen. Wenn die Matrix in Zeilenstufenform ist, ist das ganze sehr einfach, da gebe ich dir recht.
Das erste Nicht-Nullelement in jeder Zeile kommt hier nicht vor. unglücklich

Wie also vorgehen?

Liebe Grüße
MatheKind
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheKind
Für kann man aber die Matrix nicht in Zeilenstufenform bringen.

Natürlich geht das. Jede Matrix kann man in Zeilenstufenform bringen. Und ist ja schon in Zeilenstufenform.

Zitat:
Original von MatheKind
Das erste Nicht-Nullelement in jeder Zeile kommt hier nicht vor. unglücklich

Auch das stimmt nicht. In welchen Zeilen von findest du nicht-Nullelemente und wie lautet das erste davon?
MatheKind Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste Nicht-Nullelement in der ersten Zeile ist 4. Mit dieser Information würde ich aber vorgehen wie bisher auch...

Liebe Grüße
MatheKind
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Was sind jetzt die freien Variablen?
MatheKind Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das war jetzt aber nur ein (recht großer) Flüchtigkeitsfehler! smile



THX! smile

Dann besteht die genormte Basis aus:



Richtig?

Liebe Grüße
MatheKind
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Gratuliere! Freude
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