Summenformel Grenzwert bestimmen

13.07.2011, 02:58

bafla13

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Summenformel Grenzwert bestimmen

Hallo ich habe die folgende Summenformel und ich habe gar keine idee wie man ihren grenzwert bestimmen kann:S
$\begin{eqnarray*} s_{m}:=\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{9k^2-3k-2}. \end{eqnarray*}$
gibt es ein ähnliches beispiel
?? ich habe überall im internet gesucht und nichts gefunden.
danek für Hilfe

13.07.2011, 06:40

René Gruber

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Faktorisiere den Nenner, und mach darauf aufbauend eine Partialbruchzerlegung. Im Ergebnis ist dann zu sehen, dass eine einfache Teleskopsumme vorliegt.

13.07.2011, 11:21

bafla13

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Zitat:

Original von René Gruber
Faktorisiere den Nenner, und mach darauf aufbauend eine Partialbruchzerlegung. Im Ergebnis ist dann zu sehen, dass eine einfache Teleskopsumme vorliegt.

danke

smile

meinst du so?? $\begin{eqnarray*} s_{m}:=\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{(k+1/3)*(k-2/3)} \end{eqnarray*}$
wie kann man dann auf eine summe kommen??

13.07.2011, 11:25

René Gruber

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Das ist schon mal der erste Schritt, die Faktorisierung. Das dann gegebene Stichwort "Partialbruchzerlegung" sagt dir nichts?

EDIT: Ähem, Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$ vor der gesamten Summe hast du vergessen. Oder schreib besser gleich

$\begin{eqnarray*} s_{m}=\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{(3k+1)(3k-2)} \end{eqnarray*}$ .

13.07.2011, 13:34

bafla13

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danke

smile

also mit dem partialzerlegung meinst du so??
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3k+1)*(3k-2)}=\frac{A}{3k+1}+\frac{B}{3k-2} \end{eqnarray*}$
und dann
$\begin{eqnarray*} 1=A(3k-2)+(3k+1)B 1=k(3A+3B)+(B-2A)=1 \end{eqnarray*}$

die lösungen sind
$\begin{eqnarray*} 3A+3B=0\\<br /> B-2A=1\\<br /> B=1/3\\<br /> A=-1/3 \end{eqnarray*}$
dann komme ich auf sowas
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{m}=\frac{-1/3}{3k+1}+\frac{1/3}{3k+2}\\ \sum_{k=1}^{m}=-\frac{3k+1}{3}+\frac{3k+2}{3} \end{eqnarray*}$
nur am ende kamm ich auf sowas aber weiß nicht ob das richtig ist
$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=1}^{m}=\frac{-3k}{3}-\frac{1}{3}+\frac{3k}{3}+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
kannst du mir sagen bitte?
danke smile

smile

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

13.07.2011, 13:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von bafla13
dann komme ich auf sowas
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{m}=\frac{-1/3}{3k+1}+\frac{1/3}{3k+2} \end{eqnarray*}$

Richtig ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{m} = \frac{-1/3}{3k+1} + \frac{1/3}{3k-2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von bafla13
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{m}=-\frac{3k+1}{3}+\frac{3k+2}{3} \end{eqnarray*}$

Wie du dann auf dieses kommst, ist mir völlig schleierhaft. verwirrt

verwirrt

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13.07.2011, 14:06

bafla13

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oo ich glaube ich habe mich verrechnent
ist es richtig so?
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{m}=-\frac{1}{3(3k+1)}+\frac{1}{3(3k-2)}\\ \sum_{k=1}^{m}=-\frac{1}{9k+3}+\frac{1}{9k-6}\\ \sum_{k=1}^{m}=-\frac{1}{9k}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9k}-\frac{1}{6} \sum_{k=1}^{m}=\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=1/6 \end{eqnarray*}$

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

13.07.2011, 14:15

René Gruber

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Du redest dich um Kopf und Kragen. Schlimm, derartige Umformungen in der Hochschulmathematik lesen zu müssen. unglücklich

unglücklich

Bleiben wir mal bei dem, was zuletzt richtig war

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{m} \left( \frac{-1/3}{3k+1} + \frac{1/3}{3k-2} \right) = \frac{1}{3} \cdot \sum_{k=1}^{m} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right) \end{eqnarray*}$ ,

und du schaust jetzt erstmal nach, was man unter einer "Teleskopsumme" versteht.

13.07.2011, 14:19

klarsoweit

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Es ist schon ziemlich übel, wie man von $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{9k+3} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{9k}+\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ kommt. unglücklich

unglücklich

Da brauchst man durch nur mal k=0 einzusetzen, um zu merken, daß da was nicht stimmen kann.

13.07.2011, 14:39

bafla13

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achso dann wie söllte ich das umformeln????

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

13.07.2011, 14:43

klarsoweit

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Gar nicht. Du läßt die Summe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot \sum_{k=1}^{m} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right) \end{eqnarray*}$ so stehen und schaust dir (wie René Gruber schon sagte) das Thema "Teleskopsumme" genauer an.

13.07.2011, 15:06

bafla13

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ok sieht es jetzt richtig aus?? oder zumindest die richtung?
$\begin{eqnarray*} =(\frac{1}{5}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{10}).....+(\frac{1}{3m-2}-\frac{1}{3m-1})=\frac{1}{3}*(\frac{1}{5}-\frac{1}{3m+1}) \end{eqnarray*}$

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

13.07.2011, 15:23

klarsoweit

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Nun ja, es geht in die richtige Richtung. Wenn wir mal das 1/3 vor der Summe weglassen, dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{m} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right) = (\frac{1}{1} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4}-\frac{1}{7}) + (\frac{1}{7}-\frac{1}{10}) + ..... + (\frac{1}{3m-2} - \frac{1}{3m+1}) = \frac{1}{1} - \frac{1}{3m+1} \end{eqnarray*}$

13.07.2011, 15:32

bafla13

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und ist das ein Grenzwert ? wieso hast du den 1/3 weggelassen?

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

13.07.2011, 15:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von bafla13
und ist das ein Grenzwert ?

Nein, natürlich nicht. Das ist nur eine andere (einfachere) Darstellung der Summe, von der man jetzt den Grenzwert für m gegen unendlich bilden kann.

Zitat:

Original von bafla13
wieso hast du den 1/3 weggelassen?

Um sich mal nur auf das wesentliche - und das ist die Summe - zu konzentrieren.
Wenn du die ganze Rechnung ordentlich aufschreibst, mußt du natürlich das 1/3 mitführen.

13.07.2011, 18:34

bafla13

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okay
also das problem dass ich nicht weiß was m ist
aber da m aus den natürlichen zahlen ist ,wird der term
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{1}-\frac{1}{3m+1}) \end{eqnarray*}$ kleiner werden und dann gilt dass der grenzwert für große m 1 ist und multipliziert mit dem drittel so ist es 1/3
aber wie könnte ich das herausfinden wenn ich nicht weiß was m ist??

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)
EDIT2: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

13.07.2011, 19:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von bafla13
also das problem dass ich nicht weiß was m ist

m ist die obere Grenze der Summe. Für jede natürliche Zahl m gibt es eine Partialsumme s_m. Man hat somit eine Folge von reellen Zahlen und läßt nun in dieser Folge das m gegen unendlich gehen.

13.07.2011, 20:16

bafla13

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aha
dann gilt doch dass der grenzwert 1/3 ist oder?? da wenn $\begin{eqnarray*} m \to \infty \end{eqnarray*}$ dann gilt dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3m+1} =0 \end{eqnarray*}$ ist oder???

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

13.07.2011, 22:53

bafla13

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bitte???

14.07.2011, 08:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von bafla13
dann gilt doch dass der grenzwert 1/3 ist oder?? da wenn $\begin{eqnarray*} m \to \infty \end{eqnarray*}$ dann gilt dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3m+1} =0 \end{eqnarray*}$ ist oder???

Du meinst das richtige, ist aber formal schlecht geschrieben. Man drückt das so aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty} \frac{1}{3m+1} =0 \end{eqnarray*}$

Und ja, der Summenwert ist dann 1/3.

14.07.2011, 10:38

bafla133

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Danke

smile

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

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