Matrizengleichung auflösen

13.07.2011, 04:07

Marko-2011

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Matrizengleichung auflösen

Hallo,

ich beschäftige mich schon die ganze Nacht mit Algebra und bräuchte zu einem Punkt mal die Hilfe von euch Profis :-)

Aufgabenstellung:

Lösen Sie die Matrizengleichung (A^-1 x X^T x B^-1)^-1 = C nach der Matrix X so auf, dass am Ende keine Klammern mehr notwendig sind. (^-1 steht für die Inverse und ^T für die Transformierte, die kleinen x für Multiplikation)

Ich konnte in Erfahrung bringen, dass (A^-1)^-1 = A ist.

So hätte ich A x (X^T)^-1 x B = C

Stimmt es soweit? Könntet Ihr mir einen Gedankenanstoß geben, wie ich weiter vorgehen muss um die Klammer um X aufzulösen?

Herzlichen Dank schonmal im Voraus! Mit einer Antwort würdet Ihr mir wirklich sehr helfen!

Gruß
Marko

13.07.2011, 08:25

Mazze

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Zitat:

So hätte ich A x (X^T)^-1 x B = C Stimmt es soweit?

Das ist so erstmal nicht richtig. Du hast etwas wesentliches vergessen. Wenn

$\begin{eqnarray*} (A^{-1}X^TB^{-1})^{-1} =A(X^T)^{-1}B \end{eqnarray*}$

wäre, dann müsste

$\begin{eqnarray*} A^{-1}X^TB^{-1}A(X^T)^{-1}B = I \end{eqnarray*}$

sein, wobei I die Einheitsmatrix ist. Und das ist ganz offensichtlich nicht der Fall. Überlege mal, wie Du den Ausdruck A x (X^T)^{-1} x B ändern müsstest, damit diese Gleichung stimmt. Die Inverse einer Matrix ist eindeutig, es gibt also nur eine Möglichkeit.

Schreib das mal auf, dann ist die Aufgabe prinzipiell schon erledigt.

13.07.2011, 14:00

Marko-2011

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Hi Mazze, vielen Dank für dein schnelles Feedback.

Nach deinen Erläuterungen und durch den Umstand das A x A^-1 = I ist, müsste ich wahrscheinlich das ^T bei X irgendwie loswerden? Nur wie entzieht sich aktuell meines Wissens. Denn

A x X^-1 x B = C^T wird auch nicht richtig sein, oder?

Sorry, wenn ich mich ein bisschen doof anstelle, aber bin quasi Quereinsteiger und die Thematik ist für mich komplettes Neuland. Für einen weiteren Stoß in die richtige Richtung wäre ich dir sehr verbunden.

13.07.2011, 14:09

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} (A^{-1}X^TB^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ bedeutet, daß du das Inverse der Matrix $\begin{eqnarray*} A^{-1}X^TB^{-1} \end{eqnarray*}$ bilden mußt. Entweder kommst du selber drauf (liegt eigentlich fast auf der Hand) oder du schaust in einem Script nach der entsprechenden Regel.

13.07.2011, 14:26

Marko-2011

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Danke, aber stehe im Moment echt auf dem Schlauch (Skript direkt nicht vorhanden, habe im Moment nur ein Büchlein)

Das (A^T)^-1 = (A^-1)^T bringt mich ja auch nciht wirklich weiter wenn alle Klammern verschwinden müssen. Oh mann.

13.07.2011, 14:32

Mazze

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Wenn ich die Matrix $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ habe, und A und B invertierbar sind, mit welcher Matrix C müsste ich sie multiplizieren, damit die Einheitsmatrix heraus kommt? Also wie muss C aussehen , so dass

$\begin{eqnarray*} ABC = I \end{eqnarray*}$

ist? C hat irgendwas mit $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ zu tun.

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13.07.2011, 14:55

Marko-2011

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Mit C^-1 ?

Wenn A x B = C, dann A x B x C^-1 = I ?

Habe in diesem Thema wie ihr seht echte Verständnisschwierigkeiten Hammer

Hammer

13.07.2011, 15:06

Mazze

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Zitat:

Mit C^-1 ?

Das ergibt nicht mal annähernd Sinn und wirkt wie blindes Raten, unabhängig vom Kontext.

Du sollst eine Matrix C angeben, so dass

$\begin{eqnarray*} ABC = I \end{eqnarray*}$

gilt. Diese Matrix ist dann die Inverse von AB also $\begin{eqnarray*} C= (AB)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Wir wissen dass A und B invertierbar sind. Und ich sagte Dir das C irgendwas mit $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ zu tun hat. Darüber hast Du kein Wort verloren.

Weitere Hinweise :

$\begin{eqnarray*} BB^{-1} = B^{-1}B = I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} AA^{-1} = A^{-1}A = I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} XI = IX = X \end{eqnarray*}$ für alle (quadratischen) Matrizen X wenn I die Einheitsmatrix ist.

und die Matrizenmultiplikation ist assoziativ.

13.07.2011, 15:38

Marko-2011

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Danke für deine Engelsgeduld mit mir! Komme damit einfach nicht klar. Hole mir jetzt noch ein Kaffee und lese mein Buch nochmal von Anfang an. Hoffe dann komm ich drauf. Melde mich wieder aber ein DICKES DANKE schonmal für deine/eure bisherigen Hilfestellungen.

EDIT: Verstehe das ihr keine kompletten Lösungen geben wollt. Aber vllt. würde mir die o.g. Aufgabe dadurch klarer werden. Erbarmt sich vllt jemand traurig

traurig

13.07.2011, 15:57

Mazze

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Glaub mir , die Sache ist so einfach dass Du Dich hinterher ärgern wirst wenn wir dir Dir Lösung dazu geben würden.

Wenn ich etwa die Matrizen AB habe und ich von rechts mit der Inversen von B multipliziere, dann hab ich

$\begin{eqnarray*} ABB^{-1} = AI = A \end{eqnarray*}$

womit müsste ich A jetzt multiplizieren damit die Einheitsmatrix herauskommt?

13.07.2011, 16:07

Marko-2011

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Edit2: A A^-1 = I ?

Wenn Matrizen orthogonal sind ist ja A^T=A^-1, davon kann ich hier aber nicht ausgehen wenn ich die Matizen gar nicht kenne oder?

Edit: Mom mache mir jetzt über deinen neune Beitrag gedanken, habe meinen abgeschickt bevor ich deinen gelesen habe

13.07.2011, 16:34

Mazze

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Zitat:

Edit2: A A^-1 = I ?

Ja, aber warum gehst Du nicht gleich weiter ?

Wir haben also

$\begin{eqnarray*} ABB^{-1}A^{-1} = I \end{eqnarray*}$

welche Regel kannst Du also für die Inverse von AB angeben ? Und wie kannst Du das dann auf 3 (deine eigentliche Aufgabe) bzw. endlich viele invertierbare Matrizen erweitern ?

13.07.2011, 17:42

Marko-2011

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Weiß nicht ob ich es grundsätzlich verstehe, also wenn wir nur A hätten:

A A^-1 = I

(um das A auf die rechte seite zu bekommen muß ich mit rechts A^-1 multiplizieren weil es bei Matrizen kein dividieren gibt)

Wäre also:

A^-1 = A^1 I

Bei AB:

A BB^-1 A^-1 = I

A^-1 B^-1 = A^-1 B^1 I

Ist sicher falsch oder? Fühle mich grad echt wie ein Trottel^^

EDIT: Eine Inverse kann ich u.a mit Gauß-Jordan bestimmen, also erweitere ich A mit I. das Verfahren kriege ich hin, aber wie stelle ich das in einer Gleichung dar? Mein Ansatz von oben sieht sehr strange aus verwirrt

verwirrt

13.07.2011, 17:49

Mazze

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Du solltest Dich auch öfter mal fragen warum Du etwas machst. Warum zum Beispiel willst du

Zitat:

(um das A auf die rechte seite zu bekommen muß ich mit rechts A^-1 multiplizieren weil es bei Matrizen kein dividieren gibt)

A auf die rechte Seite kriegen? Das ergibt nicht mal Sinn im Zusammenhang mit deinem Problem.

Ich habe doch schon zusammengefasst, es ist

$\begin{eqnarray*} ABB^{-1}A^{-1} = I \end{eqnarray*}$

ich hoffe mal das hast Du verstanden. Und jetzt sollst Du mir daraus nur noch eine Regel für die Inverse von AB angeben. Die Regel steht auch schon da. Du musst das nur noch hinschreiben. Und wenn Du das hast, ist der Sprung zu 3 Matrizen ein klaks.

13.07.2011, 18:03

Marko-2011

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Ja ich dachte ich gehe da vor wie beim normalen Gleichungen auflösen. Ich dachte wenn ich bei
A A^-1 = I das A^-1 haben will muss ich das "normale" A auf die rechte Seite bringen.

Z.b A B = C

Wenn ich A haben will: A= C/B

Ist ja scheinbar falsch diese Herangehensweise. Sorry, kann verstehen wenn du langsam genervt bist bei so einer akuten Begriffstutzigkeit wie ich sie grade an den Tag lege. Geht mir sonst eigtl. nicht so.

13.07.2011, 18:06

Mazze

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Definition der Inversen einer Matrix :

Es sei A eine quadratische Matrix, gibt es eine quadratische Matrix B mit

$\begin{eqnarray*} AB = BA = I \end{eqnarray*}$ , wobei I die Einheitsmatrix ist, so ist A invertierbar und es gilt $\begin{eqnarray*} A^{-1} = B \end{eqnarray*}$ .

Eigenschaften sind zum Beispiel :

Inverse ist eindeutig.
Inverse existiert genau dann wenn Determinante ungleich 0.

usw.

Jetzt haben wir die Matrix

AB und haben $\begin{eqnarray*} ABB^{-1}A^{-1} = I \end{eqnarray*}$ , ist die Matrix AB jetzt invertierbar ? und was ist dann die Inverse von AB ?

13.07.2011, 18:28

Marko-2011

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ok. Also es gibt eine Inverse weil B B^1 = I und auch A I A^-1 = I. Die Inverse von AB sollte dann einfach (AB)^-1 sein weil (AB) (AB)^-1 = I. Richtig? Oder ist die Inverse von AB: B^-1 A^-1?

13.07.2011, 18:31

Mazze

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Zitat:

Die Inverse von AB sollte dann einfach (AB)^-1 sein weil (AB) (AB)^-1 = I. Richtig?

Du hast keine explizite Aussage getroffen. Natürlich ist die inverse von AB der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (AB)^{-1} \end{eqnarray*}$ aber der Hilft dir hier nichts. Aber ums kurz zu machen :

Aus $\begin{eqnarray*} ABB^{-1}A^{-1} = I \end{eqnarray*}$ folgt, dass AB invertierbar ist mit $\begin{eqnarray*} (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$

UNd das ist nun wirklich nicht schwer zu sehen, es steht ja da. Sprich, es gilt allgemein für invertierbare Matrizen A und B

$\begin{eqnarray*} (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$

So, und das kann man auf 3 bis endlich viele Matrizen erweitern, was Du für deine Aufgabe brauchst.

13.07.2011, 18:50

Marko-2011

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Ok, danke.

Also wäre die Lösung zu meiner Ausgangsaufgabe

x^-T = B^-1 A^-1 C ?

Versteh aber noch nicht wieso das explizit so gemacht wird. Kommt es bei (AB)^-1 nicht aufs gleich raus, egal ob ich B^-1 A^1 oder A^-1 B^1 mache? Da ja auch A A^-1 = I und A^-1 A = I gilt?

Edit: Ah habs glaube ich geschnallt mal endlich (die Quintessenz deiner Ausführungen, also wieso B^-1 A^1 und nciht umgedreht). Aber meine Lösung ist trotzdem falsch oder

13.07.2011, 18:59

Mazze

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Zitat:

Kommt es bei (AB)^-1 nicht aufs gleich raus, egal ob ich B^-1 A^1 oder A^-1 B^1 mache?

Was an der Aussage, die Inverse ist eindeutig hast Du nicht verstanden? Für jede invertierbare Matrix gibt es genau (!) eine Inverse Matrix. Und da wir ohne Schwierigkeiten beweisen können, dass

$\begin{eqnarray*} AB * B^{-1}A^{-1} = I \end{eqnarray*}$

ist die Inverse von AB gerade $\begin{eqnarray*} B^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} A^{-1}B^{-1} \end{eqnarray*}$ . Überzeuge dich doch mit einem kleinen Beispeil selbst, dass $\begin{eqnarray*} ABA^{-1}B^{-1} \neq I \end{eqnarray*}$ ist. (wobei A und B nicht die EInheitsmatrizen sind). Denk dran, dass im Allgemeinen für Matrizen $\begin{eqnarray*} AB \neq BA \end{eqnarray*}$ gilt (bis auf eine kleine Teilmenge der Matrizen). Insbesondere also auch $\begin{eqnarray*} A^{-1}B^{-1} \neq B^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Also wäre die Lösung zu meiner Ausgangsaufgabe x^-T = B^-1 A^-1 C ?

Das ist nicht richtig. Wie bist Du darauf gekommen? Zeig mal die Rechenschritte !

13.07.2011, 19:04

Marko-2011

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Ja das habe ich inzwischen gerallt. Habs reineditiert. Sry, war echt dämlich^^

Also ich bin darauf gekommen weil ich dachte:

(A^-1 X^T B^-1)^-1 = C

-> B X^-T A = C

Dann habe ich wieder versucht B und A nach rechts zu bekommen damit X alleien stehen bleibt (soll ja nach X auflösen)

-> X^-T = B^-1 A^-1 C

Danke für die ganze Zeit die du dir nimmst!!

13.07.2011, 19:14

Mazze

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Zitat:

(A^-1 X^T B^-1)^-1 = C -> B X^-T A = C

Soweit korrekt.

Zitat:

Dann habe ich wieder versucht B und A nach rechts zu bekommen damit X alleien stehen bleibt (soll ja nach X auflösen)

Du musst aufpassen, Die Gleichung

B X^-T A = C

wird von rechts (!) mit $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ multipliziert. D.h du musst beide Seiten von rechts damit multiplizieren. Ansonsten verwendest Du implizit wieder $\begin{eqnarray*} A^{-1}C = CA^{-1} \end{eqnarray*}$ , was falsch ist.

13.07.2011, 19:24

Marko-2011

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d.h.

B X^-T A = C

-> x^-T = C A^-1 B^-1 ?

oder

-> x^-T = B^-1 C A^-1 ?

oder

->x^-T = C B^-1 A^-1 ?

13.07.2011, 19:32

Mazze

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Wieso die Ratespiele ? Du multiplizierst die Gleichung von Rechts mit der Inversen von A und von Links mit der Inversen von B, daher ist natürlich

x^-T = B^-1 C A^-1 ?

richtig. Du bist aber noch nicht fertig, da Du ja nach X umstellen sollst.

13.07.2011, 19:36

Marko-2011

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Danke. Ja war mir nicht sicher wie das C behandelt wird. Hmm wie geht es jetzt bloß mit -T weiter.

X = B^-T C^T A^-T ist es nicht oder?

13.07.2011, 19:54

Mazze

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Auch für das Transponieren gilt :

$\begin{eqnarray*} (AB)^T = B^TA^T \end{eqnarray*}$

allerdings muss man da schon etwas mehr tun um das zu beweisen. Du musst aber bedenken dass

$\begin{eqnarray*} X^{-T} = (X^{-1})^{T} ) = (X^{T})^{-1} \end{eqnarray*}$

Du musst die Gleichung also noch einmal transponieren und noch einmal invertieren.

13.07.2011, 22:59

Marko-2011

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Hi bin jetzt auf der Arbeit. Mache mir da später weiter gedanken. Danke bis hierhin!

14.07.2011, 06:11

Marko-2011

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Also wenn ich die Gleichung nochmal transponieren und dann invertieren muss, sollte es doch so aussehen:

x^-T = B^-1 C A^-1

X^-1 = ((B^-1)^T) C^T ((A^-1)^T)

X^-1 = B^-T C^T A^-T // jezt habe ich die Gleichung transponiert, somit bleibt links noch X^-1 stehen

X =((B^-T)^-1) C^-T ((A^-T)^-1)

X = B^T C^-T A^T // jezt habe ich die Gleichung invertiert, somit bleibt links noch X stehen.

Bin ich schon wieder auf dem Holzweg? Habe grade pobiert wie du die Gleichungen als Code zu schreiben (Machst du das mit der Latex-Code-Schaltfläche oder mit dem Formeleditor?) um es leichter lesbar zu machen. Habe es aber leider noch nicht geschafft.

14.07.2011, 06:46

Mazze

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Zitat:

x^-T = B^-1 C A^-1 X^-1 = ((B^-1)^T) C^T ((A^-1)^T)

ich hab doch gesagt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (AB)^T = B^TA^T \end{eqnarray*}$

Wie wird das also auf 3 Matrizen erweitert?

Zitat:

(Machst du das mit der Latex-Code-Schaltfläche oder mit dem Formeleditor?)

Beides, der Latex code aus dem Formeleditor kommt in das Eingabefeld der Latexschaltfläche. Steht übrigens beim Formeleditor auch dabei.

14.07.2011, 18:25

Marko-2011

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(ABC)^T = C^T B^T A^T

d.h.

x^-T = B^-1 C A^-1

x^-1 = (B^-1 C A^-1)^T

X^-1 = A^-T C^T B^-T

Aber dann komme ich doch auf das selbe Ergebnis wie das, welches ich in meinem letzten Beitrag hatte, wenn ich jetzt nochmal invertieren und (AB)^-1 = B^-1 A^-1

X = (A^-T C^T B^-T)^-1

X = B^T C^-T A^T

oder muss ich komplett in einem Rutsch ^-T machen:

x^-T = B^-1 C A^-1

x = (B^-1 C A^-1)^-T

x = A^T C^-T B^T

15.07.2011, 05:54

Mazze

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Zitat:

X = B^T C^-T A^T

Du kannst leicht überprüfen ob Du richtig gerechnet hast. Du hast ja eine Gleichung gelößt, sprich, wenn Du obiges X in die Aussgangsgleichung einsetzt, muss eine wahre Aussage herauskommen. Dann ist es richtig.

(Voraussetzung dafür ist natürlich das korrekte Rechnen, aber das müsstest Du ja jetzt drauf haben)

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