Vektorraum, Unterraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension??
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13.07.2011, 11:46 clara4 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum, Unterraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension??
Meine Frage:
Hallo,

ich stehe momentan komplett auf dem Schlauch und kapiere nicht so ganz, was ich mir unter oben genannten Begriffen zu verstehen habe. Ich habe die Definitionen dafür vor mir liegen, in meinem Kopf ergeben sie trotzdem keine logische und anschauliche Erklärung.
Wenn also jemand in einfachen Worten erklären könnte, was man sich jeweils darunter vorstellen kann und wie alles zusammenhängt, wäre ich ganz furchtbar dankbar.

Meine Ideen:
So wie ich es bis jetzt verstanden (oder nicht verstanden) habe und erklären würde:

Vektorraum: eine Menge von Vektoren, deren Elemente man addieren und mit Skalaren multiplizieren kann.

Unterraum: Teilmenge eines Vektorraums, die nicht leer ist (da gibt's irgendeinen Zusammenhang, dass der Nullvektor enthalten sein muss) und die abgeschlossen bzgl. der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation ist, also bei beidem "in der Ebene" bleibt

Erzeugendensystem: keine Ahnung...eine Menge linear abhängiger Vektoren, die den Vektorraum V erzeugen?

Basis: die Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum V erzeugen?

Dimension: Anzahl der linear unabhängigen Vektoren (-> Basis?), die den Vektorraum V erzeugen (ergeben die Dimension des Vektorraums?)?
13.07.2011, 12:05 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Unterraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension??
Zitat:
Original von clara4
Vektorraum: eine Menge von Vektoren, deren Elemente man addieren und mit Skalaren multiplizieren kann.

Im wesentlichen richtig. Die Definition umfaßt noch etwas mehr.

Zitat:
Original von clara4
Unterraum: Teilmenge eines Vektorraums, die nicht leer ist (da gibt's irgendeinen Zusammenhang, dass der Nullvektor enthalten sein muss) und die abgeschlossen bzgl. der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation ist, also bei beidem "in der Ebene" bleibt

Richtig.

Zitat:
Original von clara4
Erzeugendensystem: keine Ahnung...eine Menge linear abhängiger Vektoren, die den Vektorraum V erzeugen?

Nicht ganz. Eine Familie von Vektoren, die den Vektorraum V erzeugen.

Zitat:
Original von clara4
Basis: die Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum V erzeugen?

Dimension: Anzahl der linear unabhängigen Vektoren (-> Basis?), die den Vektorraum V erzeugen (ergeben die Dimension des Vektorraums?)?

Richtig. Statt Menge redet man von Familie. Es gibt auch nicht "die" Basis, das heißt, sie ist nicht eindeutig bestimmt.
Beispielsweise sind ((1; 0), (0; 1)) und ((0; 1), (1; 0)) unterschiedliche Basen des R².
13.07.2011, 12:29 clara4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Unterraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension??
Danke für deine Antwort!

Zum Vektorraum:
Zitat:
Im wesentlichen richtig. Die Definition umfaßt noch etwas mehr.
Was umfasst sie denn noch?

Zum Unterraum: erfreulich, dass ich das verstanden habe. Kannst du mir nochmal den Zusammenhang mit dem "nicht leer" und "der Nullvektor muss enthalten sein" erläutern? Für mich bedeutet "nicht leer", dass eben überhaupt etwas "da sein muss", aber doch nicht zwangsläufig der Nullvektor??

Zum Erzeugendensystem:
Zitat:
Eine Familie von Vektoren, die den Vektorraum V erzeugen.
Was ist der Unterschied zwischen einer Familie und einer Menge? Und die lineare Abhängigkeit muss gegeben sein, oder?

Zur Basis: also statt die Menge eine Menge von Vektoren? Oder eben Familie (da ist mir der Unterschied ja nicht ganz klar)?

Zur Dimension: wenn ich also z.B. zwei Vektoren habe, die linear unabhängig sind und die damit eine Basis des Vektorraums bilden, ist die Dimension des Vektorraums zwei?
13.07.2011, 12:47 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Unterraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension??
Zitat:
Original von clara4
Zum Vektorraum:
Zitat:
Im wesentlichen richtig. Die Definition umfaßt noch etwas mehr.
Was umfasst sie denn noch?

Siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Formale_Definition

Zitat:
Original von clara4
Zum Unterraum: erfreulich, dass ich das verstanden habe. Kannst du mir nochmal den Zusammenhang mit dem "nicht leer" und "der Nullvektor muss enthalten sein" erläutern? Für mich bedeutet "nicht leer", dass eben überhaupt etwas "da sein muss", aber doch nicht zwangsläufig der Nullvektor??

Definitionsgemäß muß ein Unterraum nicht leer sein. Der Nullvektor ist dann automatisch enthalten.

Zitat:
Original von clara4
Zum Erzeugendensystem:
Zitat:
Eine Familie von Vektoren, die den Vektorraum V erzeugen.
Was ist der Unterschied zwischen einer Familie und einer Menge? Und die lineare Abhängigkeit muss gegeben sein, oder?

Bei einer Familie kommt es auf die Reihenfolge ihrer Elemente an, bei einer Menge nicht. Und bei einem Erzeugendensystem ist es egal, ob die Vektoren linear abhängig sind oder nicht.

Zitat:
Original von clara4
Zur Basis: also statt die Menge eine Menge von Vektoren?

Ja, aber eben statt "Menge" den Begriff "Familie".

Zitat:
Original von clara4
Oder eben Familie (da ist mir der Unterschied ja nicht ganz klar)?

Siehe oben.

Zitat:
Original von clara4
Zur Dimension: wenn ich also z.B. zwei Vektoren habe, die linear unabhängig sind und die damit eine Basis des Vektorraums bilden, ist die Dimension des Vektorraums zwei?

Richtig.
13.07.2011, 13:13 clara4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Unterraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension??
Zitat:
Siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Formale_Definition
Gna...solche Links helfen mir nicht, die hab ich schon durch und sie enthalten ja auch nur die Definitionen, die ich auch in meinem Skript stehen habe.
Kann man das nicht in verständliches Deutsch übersetzen? So kapier ich's nämlich nicht...

Zitat:
Bei einer Familie kommt es auf die Reihenfolge ihrer Elemente an, bei einer Menge nicht.
Aber wieso ist die Reihenfolge der Vektoren wichtig?
Im Skript wird das Erzeugendensystem so definiert: Eine Menge {x1,...,xm} heißt Erzeugendensystem eines Vektorraums V, falls alle Vektoren x Element V darstellbar sind als Linearkombination von x1,...,xm.
Da steht gar nichts von Familie... jetzt bin ich verwirrt...

Zitat:
Und bei einem Erzeugendensystem ist es egal, ob die Vektoren linear abhängig sind oder nicht.
Hm. Ich zitiere wieder mein Skript: Sei {x1,...,xm} ein Erzeugendensystem des Vektorraumes V. Dann gilt 1. Für x Element V ist die Menge {x, x1,...,xm} linear abhängig und erzeugt V.
Bedeutet das nicht, dass die Vektoren linear abhängig sein müssen, um ein Erzeugendensystem zu bilden?

Brr..nach reiflicher Überlegung stimme ich zu, dass die Vektoren nicht linear abhängig sein müssen. Weil der Vektorraum ja nur der Raum ist, in dem die Vektoren aufgespannt sind, oder? Egal, ob unabhängig oder abhängig.

Aber wie sieht denn jetzt so ein Erzeugendensystem aus? Ich kann mir darunter irgendwie nichts vorstellen...
13.07.2011, 13:32 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Unterraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension??
Zitat:
Original von clara4
Zitat:
Siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Formale_Definition
Gna...solche Links helfen mir nicht, die hab ich schon durch und sie enthalten ja auch nur die Definitionen, die ich auch in meinem Skript stehen habe.
Kann man das nicht in verständliches Deutsch übersetzen? So kapier ich's nämlich nicht...

Meine Güte, da sehe ich aber für dein weiteres Mathe-Studium schwarz. unglücklich

Nehmen wir mal die 1. Bedingung bei der Skalarmultiplikation:
bedeutet auf Deutsch:

Wenn man einen Vektor v erst mit einem Skalar beta und dann das Ergebnis mit einem alpha multipliziert, dann kommt das gleiche raus wie bei der Rechnung , daß man erst alpha mit beta und dann das Ergebnis mit dem Vektor v multipliziert.

So kannst du in gleicher Weise alle anderen Bedingungen so übersetzen. smile

Zitat:
Original von clara4
Zitat:
Bei einer Familie kommt es auf die Reihenfolge ihrer Elemente an, bei einer Menge nicht.
Aber wieso ist die Reihenfolge der Vektoren wichtig?
Im Skript wird das Erzeugendensystem so definiert: Eine Menge {x1,...,xm} heißt Erzeugendensystem eines Vektorraums V, falls alle Vektoren x Element V darstellbar sind als Linearkombination von x1,...,xm.
Da steht gar nichts von Familie... jetzt bin ich verwirrt...

Zu meiner Zeit hat man noch von Familie geredet, weil es eben auch auf die Reihenfolge ankommt. Wie ich oben mit meinem Beispiel darstellen wollte, sind für mich ((1; 0), (0; 1)) und ((0; 1), (1; 0)) unterschiedliche Erzeugendensysteme. Als Menge betrachtet, sind diese jedoch identisch. Du kannst ja mal einen kompetenten Tutor (falls vorhanden) fragen.

(Vielleicht liegt es auch an dem gesellschaftlichen Trend, daß sich Familien immer schneller auflösen.)

Zitat:
Original von clara4
Zitat:
Und bei einem Erzeugendensystem ist es egal, ob die Vektoren linear abhängig sind oder nicht.
Hm. Ich zitiere wieder mein Skript: Sei {x1,...,xm} ein Erzeugendensystem des Vektorraumes V. Dann gilt 1. Für x Element V ist die Menge {x, x1,...,xm} linear abhängig und erzeugt V.
Bedeutet das nicht, dass die Vektoren linear abhängig sein müssen, um ein Erzeugendensystem zu bilden?

Es ist natürlich logisch, daß, wenn {x1,...,xm} ein Erzeugendensystem bildet, auch {x, x1,...,xm} ein Erzeugendensystem bildet, aber in diesem Fall sind die Vektoren linear abhängig.

Zitat:
Original von clara4
Aber wie sieht denn jetzt so ein Erzeugendensystem aus? Ich kann mir darunter irgendwie nichts vorstellen...

Es ist eben (von mir aus) eine Menge von Vektoren, mit denen man jeden anderen Vektor des Vektorraums durch Linearkombination erzeugen kann.
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13.07.2011, 14:18 clara4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Unterraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension??
Zitat:
Meine Güte, da sehe ich aber für dein weiteres Mathe-Studium schwarz. unglücklich
Ja, danke. Ich studier aber Gott sei Dank nur eine Geisteswissenschaft und Statistik im Nebenfach. Big Laugh Wenn ich's könnte, würde ich hier nicht nachfragen...

Ich hab jetzt übrigens verstanden, auf was du hinauswillst. Und doch, diese Bedingungen verstehe ich durchaus, ich wusste nur nicht, dass du die noch in der Definition haben wolltest.

Also, Vektorraum: eine Menge von Vektoren, deren Elemente man addieren und mit Skalaren multiplizieren kann, wobei für die Addition die Axiome ... (punktpunktpunkt) gelten müssen und für die skalare Multiplikation die Axiome ... (punktpunktpunkt). So richtig?

Zitat:
Wie ich oben mit meinem Beispiel darstellen wollte, sind für mich ((1; 0), (0; 1)) und ((0; 1), (1; 0)) unterschiedliche Erzeugendensysteme.

Und wenn ich's als {((1,0),(0,1)), ((0,1),(1,0))} darstelle? Dann hätte ich doch eine Menge von unterschiedlichen Erzeugendensystemen, oder?

Ich werde immer verwirrter... kann ein Vektorraum aus nur einem Vektor bestehen?

Zitat:
Es ist eben (von mir aus) eine Menge von Vektoren, mit denen man jeden anderen Vektor des Vektorraums durch Linearkombination erzeugen kann.
Und woher bekomme ich das Erzeugendensystem? Woher weiß ich, welche Vektoren zum Erzeugendensystem gehören? Oder gehören alle dazu? Erstaunt2
13.07.2011, 14:37 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Unterraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension??
Zitat:
Original von clara4
Also, Vektorraum: eine Menge von Vektoren, deren Elemente man addieren und mit Skalaren multiplizieren kann, wobei für die Addition die Axiome ... (punktpunktpunkt) gelten müssen und für die skalare Multiplikation die Axiome ... (punktpunktpunkt). So richtig?

Ja.

Zitat:
Original von clara4
Zitat:
Wie ich oben mit meinem Beispiel darstellen wollte, sind für mich ((1; 0), (0; 1)) und ((0; 1), (1; 0)) unterschiedliche Erzeugendensysteme.

Und wenn ich's als {((1,0),(0,1)), ((0,1),(1,0))} darstelle? Dann hätte ich doch eine Menge von unterschiedlichen Erzeugendensystemen, oder?

Und was soll man mit einer Menge von (unterschiedlichen) Erzeugendensystemen? Es reicht eigentlich zu wissen, daß es eben unterschiedliche Erzeugendensysteme gibt.

Zitat:
Original von clara4
Ich werde immer verwirrter... kann ein Vektorraum aus nur einem Vektor bestehen?

Ja. Nämlich dem Nullvektor. Augenzwinkern

Zitat:
Original von clara4
Und woher bekomme ich das Erzeugendensystem? Woher weiß ich, welche Vektoren zum Erzeugendensystem gehören?

Du kannst natürlich als Erzeugendensystem alle Vektoren eines Vektorraums nehmen. Das ist dann aber etwas unübersichtlich und ziemlich unhandlich. smile
Üblicherweise schaut man sich den Vektorraum etwas genauer an und guckt sich geeignete Vektoren aus. Für den R² würde ich als Erzeugendensystem <(1; 0), (0; 1)> nehmen.
13.07.2011, 14:51 clara4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Unterraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension??
Zitat:
Und was soll man mit einer Menge von (unterschiedlichen) Erzeugendensystemen? Es reicht eigentlich zu wissen, daß es eben unterschiedliche Erzeugendensysteme gibt.
D.h. ich suche mir ein Erzeugendensystem aus der Menge erzeugendensystembildender Vektoren raus? Und was mache ich mit dem? Für was ist das nützlich?
Erzeugendensystem bestehen aus mindestens zwei Vektoren?

Zitat:
Ja. Nämlich dem Nullvektor.
Aber nur dem? Also ein beliebiger Vektor x= (2,3) kann alleine keinen Vektorraum ausmachen?

Zitat:
Für den R² würde ich als Erzeugendensystem <(1; 0), (0; 1)> nehmen.
Die spitzen Klammern verwirren mich jetzt, das würde ich nämlich als Skalarprodukt lesen. Und das ist es doch nicht, oder? geschockt

Für R³ dann als Erzeugendensystem ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))? Geht das dann nicht immer so weiter?

Nochmal zu Dimension und Basis: gibt die Dimension eines Vektorraums die Anzahl der Basen des Vektorraums an?
13.07.2011, 15:13 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Unterraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension??
Zitat:
Original von clara4
D.h. ich suche mir ein Erzeugendensystem aus der Menge erzeugendensystembildender Vektoren raus?

Üblicherweise ja.

Zitat:
Original von clara4
Und was mache ich mit dem? Für was ist das nützlich?

Ein Erzeugendensystem erleichtert den Überblick. Und man kann damit einen Vektorraum leichter handhaben, vor allem deshalb, weil ein Erzeugendensystem meistens aus endlich vielen Vektoren besteht.

Wenn du den Raum aller produzierten Autos eines bestimmten Modells betrachtest und das Modell testen willst, dann willst du doch wohl nicht alle produzierten Autos testen, sondern doch hoffentlich nur eins davon, oder?

Zitat:
Original von clara4
Erzeugendensystem bestehen aus mindestens zwei Vektoren?

Nein. Es kann auch nur ein Vektor sein.

Zitat:
Original von clara4
Zitat:
Ja. Nämlich dem Nullvektor.
Aber nur dem? Also ein beliebiger Vektor x= (2,3) kann alleine keinen Vektorraum ausmachen?

Nein. Es müßten beispielsweise alle Vielfachen von (2,3) auch enthalten sein.

Zitat:
Original von clara4
Zitat:
Für den R² würde ich als Erzeugendensystem <(1; 0), (0; 1)> nehmen.
Die spitzen Klammern verwirren mich jetzt, das würde ich nämlich als Skalarprodukt lesen. Und das ist es doch nicht, oder? geschockt

Sorry, dann nimm eben ((1; 0), (0; 1)) .

Zitat:
Original von clara4
Für R³ dann als Erzeugendensystem ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))? Geht das dann nicht immer so weiter?

Im Prinzip ja. Du könntest für den R³ aber auch ((1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)) nehmen. Oder ganz was anderes. smile

Zitat:
Original von clara4
Nochmal zu Dimension und Basis: gibt die Dimension eines Vektorraums die Anzahl der Basen des Vektorraums an?

Nein. Die Dimension ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis.
13.07.2011, 15:41 clara4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Unterraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension??
Ein Vektorraum kann nur dann dann aus einem Vektor bestehen, wenn es der Nullvektor ist?

Wovon hängt es ab, aus wievielen Vektoren das Erzeugendensystem besteht?
13.07.2011, 16:05 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Unterraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension??
Zitat:
Original von clara4
Ein Vektorraum kann nur dann dann aus einem Vektor bestehen, wenn es der Nullvektor ist?

Ja.

Zitat:
Original von clara4
Wovon hängt es ab, aus wievielen Vektoren das Erzeugendensystem besteht?

Im wesentlichen von der Komplexität des Vektorraum und wie immer man das ausdrücken will. Du kannst dir ja mal überlegen, wie ein Erzeugendensystem für den Vektorraum der Polynome aussieht. Augenzwinkern
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