Beweis Umfang Dreieck minimal |
| 13.07.2011, 12:33 | b1ubb | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis Umfang Dreieck minimal Hallo! Ich suche die Antwort auf folgendes Problem: Gegeben sind zwei Geraden g und h mit Schnittpunkt S, die einen Winkel einschließen, welcher größer als 90° ist. Im Winkelfeld liegt ein Punkt B. Nun ist das Dreieck mit dem kleinsten Umfang gesucht, das B als Eckpunkt besitzt und dessen andere Eckpunkte A und C auf den Geraden liegen. (siehe Bild, Beispieldreieck in rot) Meine Ideen: Meine Idee ist, dass die Punkte A und C des gesuchten Dreiecks möglichst nahe am Scheitelpunkt liegen, sodass der Umfang des Dreiecks etwa 2*SB (grün im Bild) entspricht. Dies habe ich auch schon mit einem DGS (geogebra) getestet, indem ich die Punkte A und C immer wieder verschoben habe. Nur jetzt fehlt mir die Begründung, warum dieses Dreieck das Dreieck mit dem kleinsten Umfang ist. Kann mir da jemand weiterhelfen? Wäre super. |
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| 13.07.2011, 12:50 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » |
Tipp: Spiegelung EDIT: Hmm, ich sehe gerade, das mit der Spiegelung klappt nur im Falle eines spitzen Winkels bei . Im Falle eines stumpfen Winkels (wie hier) ist das entartete Dreieck (also mit A=C=S) optimal. |
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| 13.07.2011, 17:55 | b1ubb | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau, der Winkel soll größer als 90° sein. Die ursprüngliche Aufgabe war für einen Winkel kleiner 90° (Fagnano-Problem) und mich würde aber interessieren, warum das entartete Dreieck das Dreieck mit dem kleinsten Umfang sein muss. |
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| 13.07.2011, 22:51 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da muss ich meine obige Einschätzung korrigieren: Auch zu dessen Begründung kann man das Spiegelungsprinzip heranziehen - nur eben mit einer Zusatzbetrachtung. P.S.: Das Fagnano-Problem mag verwandt sein, trifft aber nicht ganz die hiesige Situation: Hier sind nämlich nur zwei Punkte auf den jeweiligen Geraden variabel, während der dritte fest ist. Beim Fagnano-Problem sind alle drei Punkte (auf ihren Dreiecksseiten) variabel. |
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