Gaußsches Eliminationsverfahren zur Berechnung der Determinanten einer 4x4 Matrix

13.07.2011, 12:34

deadbeef

Gaußsches Eliminationsverfahren zur Berechnung der Determinanten einer 4x4 Matrix

Meine Frage:
Ich möchte die Determinante folgender 4x4 Matrix mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren berechnen:

$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & -3 & -4 \\ 3 & 6 & -2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist mir bereits bekannt:
det(M) = -120

Meine Ideen:
Um die Determinante zu berechnen habe ich zunächst die Zeilen I und II vertauscht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & -4 \\ 2 & 1 & 5 & 1 \\ 3 & 6 & -2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als nächstes wollte ich Zeile I von Zeile IV subtrahieren, sodass sich folgende Matrix ergeben würde:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & -4 \\ 2 & 1 & 5 & 1 \\ 3 & 6 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das erscheint mir korrekt, jedoch erhalte ich als Ergebnis der Determinate dieser Matrix nicht mehr 120, sondern (-120). Habe ich einen Fehler begangen?

EDIT: Latex-Tags eingefügt (klarsoweit)

13.07.2011, 12:54

klarsoweit

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RE: Gaußsches Eliminationsverfahren zur Berechnung der Determinanten einer 4x4 Matrix

Zitat:

Original von deadbeef
Das erscheint mir korrekt, jedoch erhalte ich als Ergebnis der Determinate dieser Matrix nicht mehr 120, sondern (-120). Habe ich einen Fehler begangen?

Ja. Du mußt dein Ergebnis mit (-1)^n multiplizieren, wobei n die Anzahl der Zeilenvertauschungen ist. Augenzwinkern

Und ab damit in den Hochschulbereich.

13.07.2011, 13:34

deadbeef

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RE: Gaußsches Eliminationsverfahren zur Berechnung der Determinanten einer 4x4 Matrix

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja. Du mußt dein Ergebnis mit (-1)^n multiplizieren, wobei n die Anzahl der Zeilenvertauschungen ist. Augenzwinkern

Danke für deine Antwort. Ich habe Schwierigkeiten hierfür eine allgemeine Herleitung zu finden. Ausgangspunkt ist nämlich der, dass ich die Inverse der folgenden Matrix berechnen möchte:

$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix} u_{x} & u_{y} & u_{z} & 0 \\ v_{x} & v_{y} & v_{z} & 0 \\ w_{x} & w_{y} & w_{z} & 0 \\ Q_{x} & Q_{y} & Q_{z} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dafür wollte ich die Adjunkte der Matrix durch Ihre Determinate teilen:

$\begin{eqnarray*} 1/det(M) * adj(M) = 1/det(M) * cofac(M)^{T} \end{eqnarray*}$

Ich habe allerdings Probleme bei der Umstellung. Weiß jemand weiter?

13.07.2011, 16:55

deadbeef

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RE: Gaußsches Eliminationsverfahren zur Berechnung der Determinanten einer 4x4 Matrix
Ich habe die initiale Aufgabe mal mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens gelöst:

[ 2 1 5 1 ] | Tausche Zeile mit II
[ 1 1 -3 -4 ]
[ 3 6 -2 1 ]
[ 2 2 2 -3 ]

[ 1 1 -3 -4 ]
[ 2 1 5 1 ]
[ 3 6 -2 1 ]
[ 2 2 2 -3 ] | - I

[ 1 1 -3 -4 ]
[ 2 1 5 1 ] | Tausche Spalte I mit Spalte IV ..
[ 3 6 -2 1 ] | und Spalte II mit Splate III
[ 1 1 5 1 ]

[ -4 -3 1 1 ]
[ 1 5 1 2 ] | - III
[ 1 -2 6 3 ]
[ 1 5 1 1 ] | - II

[ -4 -3 1 1 ]
[ 0 7 -5 -1 ]
[ 1 -2 6 3 ] | + (0.5 * I) | + (0.5 * II)
[ 0 0 0 -1 ]

[ -4 -3 1 1 ]
[ 0 7 -5 -1 ]
[ -1 0 4 3 ] - (1/4 * I)
[ 0 0 0 -1 ]

[ -4 -3 1 1 ]
[ 0 7 -5 -1 ]
[ 0 3/4 15/4 11/4 ] | - (1/(9 + 1/3) * II)
[ 0 0 0 -1 ]

[ -4 -3 1 1 ]
[ 0 7 -5 -1 ]
[ 0 0 30/7 20/7 ]
[ 0 0 0 -1 ]

det A = -4 * 7 * 30/7 * -1 * -1^(3) = -120

Seltsamerweise komme ich mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes auf ein anderes Ergebnis. Sieht jemand den Fehler?

det A = | [ 2 1 5 1 ] | = 2 * | [ 1 -3 -4 ] | - 1 * | [ -3 -4 1 ] | + 5 * | [ -4 1 1 ] | - 1 * | [ 1 1 -3 ] |
| [ 1 1 -3 -4 ] | | [ 6 -2 1 ] | | [ -2 1 3 ] | | [ 1 3 6 ] | | [ 3 6 -2 ] |
| [ 3 6 -2 1 ] | | [ 2 2 -3 ] | | [ 2 -3 2 ] | | [ -3 2 2 ] | | [ 2 2 2 ] |
| [ 2 2 2 -3 ] |

<=> det A = 2 * (1 * | [ -2 1 ] | - (-3) * | [ 1 6 ] | + (-4) * | [ 6 -2 ] |) + (-1) * ((-3) * | [ 1 3 ] | - (-4) * | [ 3 -2 ] | + 1 * | [ -2 1 ] |) +
( | [ 2 -3 ] | | [ -3 2 ] | | [ 2 2 ] |) ( | [ -3 2 ] | | [ 2 2 ] | | [ 2 -3 ] |)

5 * ((-4) * | [ 3 6 ] | - 1 * | [ 6 1 ] | + 1 * | [ 1 3 ] |) + (-1) * (1 * | [ 6 -2 ] | - 1 * | [ -2 3 ] | + (-3) * | [ 3 6 ] |)
( | [ 2 2 ] | | [ 2 -3 ] | | [ -3 2 ] |) ( | [ 2 2 ] | | [ 2 2 ] | | [ 2 2 ] |)

<=> det A = 2 * (1 * ((-2)*(-3) - 2*1) - (-3) * (1*2 - (-3)*6) + (-4) * (6*2 - 2*(-2))) + (-1) * ((-3) * (1*2 - (-3)*3) - (-4) * (3*2 - 2*(-2)) + 1 * ((-2)*(-3) - 2*1)) +
5 * ((-4) * (3*2 - 2*6) - 1 * (6*(-3) - 2*1) + 1 * (1*2 - (-3)*3)) + (-1) * (1 * (6*2 - 2*(-2)) - 1 * ((-2)*2 - 2*3) + (-3) * (3*2 - 2*6))

<=> det A = 2 * (4 + 60 - 64) + (-1) * (-33 - (-40) + 4) + 5 * (24 - (-20) + 11) + (-1) * (16 - (-10) + 18)

<=> det A = 0 + (-11) + 275 + (-44)
<=> det A = 220

14.07.2011, 16:23

Christian_P

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Ich seh den Fehler leider nicht, weil ich mich gar nicht damit auskenne, aber nur mal interessehalber: Benutz ihr auch das Verfahren der "Entwicklung einer Determinante aus irgendeiner Reihe"? - d.h., dass man mit den jeweiligen Adjunkten einer Reihe weiter rechnet, nachdem man zuerst versucht möglichst viele Elemente dieser Reihe auf null zu bringen.

Gruß
Christian

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