Wurzelterm weiter vereinfachen

13.07.2011, 14:18

Christian_P

Wurzelterm weiter vereinfachen

In einer Rechnung ergab sich folgender Wurzelterm bei dem mir gerade kein Weg einfällt, ihn weiter zu vereinfachen;

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}-\sqrt{6-3\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

kurz vorher hatte ich in einem anderen Zusammenhang diesen Term gefunden, welcher den gleichen Wert hat;

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2-\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Hat jemand von euch einen Tipp für eine Vereinfachung, wenn möglich?
Ich kann zwei Glieder doch nur dann addieren (subtrahieren), wenn sie sowohl in der Basis als auch im Exponenten übereinstimmen, oder? Deswegen sehe ich keinen weg, den (oberen) Term zusammenzufassen.

13.07.2011, 14:58

tigerbine

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Mit CAS kommt man auf eine Vereinfachung, wäre mir aber sonst nie in den Sinn gekommen. Daher schreibe ich die Inversion mal auf, wüßte nicht, wie ich das in Tipps ausdrücken soll. Motivation: Eingabe der Daten in Maple und was da raus gemacht wird. Trick wie meistens: binomische Formel. Aber auf diesen Bau zu kommen...

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}-\sqrt{2\cdot 3-3\sqrt{3}}&& =\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}} &&=\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{\frac{6}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{6}\sqrt{2}+\frac{2}{4}} &&=\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} &&\stackrel{*}=\sqrt{2}-\sqrt{3}\cdot (\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}) &&=\sqrt{2}-\frac{3}{2}\cdot \sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{2} &&=\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} &&\stackrel{*}=\sqrt{2-\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

code:
1: 2: 3:	sqrt(2-sqrt(3)); 1/2 sqrt(6) - 1/2 sqrt(2)

13.07.2011, 15:20

Christian_P

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Danke für deine Mühe. Das sieht ja ganz schön schwierig aus, wie du schon sagtest. Generell finde ich es interessant, dass zwei so verschiedene Terme denselben Wert haben können. Ein CAS habe ich (leider) noch nicht, ich versuche das immer so hinzubekommen, kontrollieren tue ich ab und an mal bei Wolfram Alpha.

Das mit Wurzel 3 abspalten in der ersten Zeile ist klar,
aber in der zweiten Zeile verstehe ich den Schritt unter der Wurzel nicht,
und der letzte Schritt ist mir auch nicht ganz klar.

Generell wohl sehr aufwendig und wie du schon sagtest, kommt man nicht oder nur unter Umwegen allein darauf.

13.07.2011, 15:26

tigerbine

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Wie gesagt, ohne CAS hätte ich mit deiner Formel gestoppt. CAS sagt uns, dass da noch was geht und wie wir uns das bauen können.

Zitat:

Trick wie meistens: binomische Formel.

Durch das CAS weiß man, dass gelten muss

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}} &&=?? &&=\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} \end{eqnarray*}$

oder eben auf die Kernfrage reduziert

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2-\sqrt{3}} &&=?? &&=\sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} \end{eqnarray*}$

Bleibt doch nur noch offen, wie man sich die binomische Formel bauen kann. Und das habe ich dir schon passend zerlegt.

13.07.2011, 15:36

Christian_P

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ja, jetzt hab ichs.
danke für deine Hilfe! smile

13.07.2011, 15:42

tigerbine

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Gerne.

13.07.2011, 16:01

Bjoern1982

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Ohne CAS eben von Hand durch ein Gleichungssystem, welches durch einen entsprechenden Koeffizientenvergleich entsteht.

13.07.2011, 16:32

Christian_P

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Interessant! Könntest du es vielleicht ein bisschen genauer erläutern, würde mich interessieren.

Der Term oben entstand aus einem geometrischen Zusammenhang, ich vermut, dass, wenn ich die Strecke welche durch den (oberen) Term beschrieben ist, auf eine andere Weise aus meiner Zeichnung herleite, dass ich dann auf den unteren Term kommen würde. Wahrscheinlich habe ich dann wieder eine bi-quadratische Gleichung, deren Lösung dann der kompaktere Term ist (natürlich mit einer Variablen verknüpft).

13.07.2011, 16:47

Bjoern1982

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Ein möglicher (intuitiver) Gedankengang ist ja folgender:

Wenn es das Ziel ist obigen Wurzelausdruck - warum auch immer - noch weiter zu vereinfachen, dann kann man ja versuchen den Radikanden als Binom darzustellen, weil ja dadurch die äußere Wurzel dann quasi wegfällt, was unter Umständen dann dazu führen kann, dass man auch noch diese $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ irgendwie damit verrechnen bzw zusammenfassen kann.

Deswegen der Ansatz $\begin{eqnarray*} 6-3\sqrt{3}=(x-y)^2 <=> 6- 2\cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{3}=x^2+y^2-2xy \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt die linke und rechte Seite vergleicht entsteht das vorhin angesprochene Gleichungssystem.

13.07.2011, 17:12

Christian_P

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Dann sind x und y - die Lösungen des Gleichungssystem - die Zahlenwerte im Binom?
nicht schlecht!

14.07.2011, 15:00

Christian_P

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Kann hier noch etwas vereinfacht werden?

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{3}a^2\left(8\sqrt{3}-6\sqrt{4-2\sqrt{3}}-9\right) \end{eqnarray*}$

14.07.2011, 18:02

Bjoern1982

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Kann man in der Tat analog zum Beispiel vorher.
Mit etwas Übung sieht man auch schon, dass das hier auf $\begin{eqnarray*} 4-2\sqrt{3}=(1-\sqrt{3})^2 \end{eqnarray*}$ hinausläuft

15.07.2011, 09:35

Christian_P

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Ja stimmt...
hier finde ich es leichter zu erkennen, dass $\begin{eqnarray*} 4-2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ein vollständiges Quadrat ist.

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