zwischenkörper ebenfalls galoisch

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
zwischenkörper ebenfalls galoisch
Hey wir haben folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Sei L/K eine galoissche Körpererweiterung mit [L : K] = pq für zwei Primzahlen p > q derart, dass . Sei ferner M ein Zwischenkörper der Erweiterung. Zeigen Sie, dass dann M/K ebenfalls galoisch ist.

Leider habe ich noch keine Ansätze. Was heißt das, dass eine Körpererweiterung den Grad eines Produkts zweier Primzahlen hat??
Wäre für Hilfe sehr dankbar.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zwischenkörper ebenfalls galoisch
Hallo Hamsterchen, Wink

Dass die Körpererweiterung den Grad pq hat, heißt zunächst mal, dass die Möglichkeiten für den Erweiterungsgrad eines Zwischenkörpers ziemlich begrenzt sind. Augenzwinkern

Außerdem kannst Du mit den gegebenen Eigenschaften die Struktur der Galoisgruppe genau bestimmen. Sie wird nämlich zyklisch sein.
Nun haben zyklische Gruppen zu jedem Teiler der Gruppenordnung immer nur genau eine Untergruppe und insofern gibt es auch zu jedem möglichen Erweiterungsgrad nur genau einen Zwischenkörper.

Damit lässt sich dann leicht zeigen, dass alle möglichen Erweiterungen normal sein müssen.

Gruß,
Reksilat.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zwischenkörper ebenfalls galoisch
Hey, schonmal vielen Dank für deine Antwort...
Über den Erweiterungsgrad von Zwischenkörpern habe ich jetzt leider gar nichts in unserer Vorlesung gefunden...
Über zyklisch steht bei mir: Eine Gruppe ist zyklisch, wenn sie von nur einem Element erzeugt wird...??
Irgendwie steh ich ziemlich auf dem Schlauch...=(
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zwischenkörper ebenfalls galoisch
Ich meine natürlich den Erweiterungsgrad des Zwischenkörpers M über dem Grundkörper K. Das ist es ja schließlich, was uns interessiert.

Bei der Galoisgruppe ist es letztlich nicht so wichtig, dass die Gruppe zyklisch ist, sondern dass sie zu jedem Teiler der Gruppenordnung genau eine Untergruppe hat. (Das ist aber letztlich äquivalent.)
Letztere Eigenschaft erhält man mit dem Sylowsatz.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
also es dürfte doch eig. nur 4 möglichkeiten geben:[M:K] = 1,p,q,pq. 1 und pq sind triviale fälle. aber was macht man mit den anderen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Na überlege Dir doch, was genau zu zeigen ist und fang an...
Dann wirst Du ja sehen, ob und wo Probleme auftauchen.
 
 
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss zeigen, dass M der Zerfällungskörper über K ist mit [M:K]=p oder q
ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich da anfangen soll...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zerfällungskörper von was?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ich meine, dass wir zeigen müssen, dass für [M:K]=p oder q gilt, dass alle Minimalpolynome über K von Elementen aus M in M vollständig in Linearfaktoren zerfallen, oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Aber warum muss ich Dir alles aus der Nase ziehen? unglücklich

Nun: Sei und das zugehörige Minimalpolynom. Weiter sei (im algebraischen Abschluss) eine weitere Nullstelle von .

Was ist zu zeigen? Was wissen wir bereits?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
also ich muss doch zeigen, dass f dann über M in Linearfaktoren zerfällt. Wenn ich b aus dem alg. Abschluss von K nehme und es gilt f(b)=0, dann kann ich f doch schreiben als . muss ich jetzt nicht zeigen, dass b aus M ist??? und wenn ja, wie mach ich das denn?
ich weiß ja nur, dass f über L in Linearfaktoren zerfällt, weil ja L/K galoisch ist.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
muss ich jetzt nicht zeigen, dass b aus M ist???

Ja, genau.
Zitat:
ich weiß ja nur, dass f über L in Linearfaktoren zerfällt, weil ja L/K galoisch ist.

Auch das ist wichtig, denn dadurch wissen wir, dass ist.
Freude

Insbesondere sollten wir uns aber erst mal bei festlegen. Sagen wir der Grad ist jetzt .

Was wissen wir nun über ?
Was sagt uns das über ?
Was wissen wir über den Grad von ?
Was sagt uns das über ?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
also [K(a):K]=grad(f) weil ja f Minimalpolynom von a.

Also das muss ja dann auch Grad 1,p,q,pq haben, weil es ja ein Zwischenkörper ist und der kann nur einen dieser Grade haben. 1 und pq lassen wir wieder weg. Wenn es q wäre, müsste dann nicht [K(b):K]=p sein? Aber das würde ja dann eigentlich nicht gehn, weil dann wäre der Grad vom Minimalpolynom von b = p, aber da ja f(b)=0, muss , aber p ist ja kleiner als q, also muss doch dann [K(a):K]=p sein, also wäre M=K(a)???

Das stimmt bestimmt net ^^ bringt mir das irgendwas?????? oh man ^^
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Langsam. Augenzwinkern

So viel Auswahl für hast Du nicht:
Es ist , also ist es nicht 1.
Außerdem ist , also .

Da nun prim ist, folgt .

Und ein Minimalpolynom von ist natürlich auch ein Teiler von , aber sollte ja das Minimalpolynom von sein und ist als solches natürlich ...?

Damit kennst Du . Anschließend beachte, was ich zu Beginn habe.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
ja meine Antwort war etwas übereil ^^
ok dass es nicht 1 sein kann, weil a nicht in K ist, ist klar. und weil a aus M kommt, ist das auch ne teilmenge. kannst du kurz erklären, wieso aus [M:K]=p prim folgt, dass K(a)=M ist?
Zur Frage mit dem Minimalpolynom, meinst du, dass es irreduzibel ist? Weil ich hatte die Zerlegung ja über dem alg. Abschluss von K geschrieben.

Wieso kenne ich jetzt [K(b):K]? Sry verstehs noch nicht so ganz =)
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Na es ist . Denk mal an den Gradsatz.
___

Und bleibt ja trotzdem ein Polynom in , ist außerdem irreduzibel und hat als Nullstelle.
Soweit klar?
Was folgt daraus?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ja klar ^^

weil [M:K(a)] * [K(a):K] eine Primzahl ergeben muss und [K(a):K] ja nicht 1 sein kann, muss es p sein und deswegen muss aber [M:K(a)]=1 sein.

ja f ist ein polynom über K und wegen der eigenschaft, dass es minimalpolynom ist, ist es auch irreduzibel über K. weiß jetzt aber nicht, was ich daraus folgern soll, außer halt, dass b dann nicht in K sein kann. oder man könnte dann ja so wie oben argumentieren dass dann [K(b):K]=p sein muss? Also K(b) liegt doch auch zwischen K und M, oder? Dann würde wieder folgen, dass M=K(b) ist?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
oder man könnte dann ja so wie oben argumentieren dass dann [K(b):K]=p sein muss?

Der Grad dieser Körpererweiterung ist der Grad des Minimalpolynoms von . Sollte bekannt sein. Augenzwinkern

Zitat:
Also K(b) liegt doch auch zwischen K und M, oder? Dann würde wieder folgen, dass M=K(b) ist?

Bisher weißt Du nur was über den Erweiterungsgrad. - Dass ist willst Du ja erst zeigen.

Aber wie oben gesagt: Wenn Du zeigst, dass die Galoisgruppe nur eine einzige Untergruppe der Ordnung hat, dann gibt es aufgrund der Galoiskorrespondenz auch nur genau einen Zwischenkörper dieses Grades und dann muss eben gelten.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

wieso kenne ich den grad des minimalpolynoms von b? ich weiß ja nur, dass er höchstens so groß ist wie grad(f), oder???? *verwirrt sei*

Mit den Galoisuntergruppen da blick ich noch nicht wirklich durch. Kannst du mir sagen, wie man da vorgeht?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ist und , so teilt das Minimalpolynom von über das . Allerdings ist irreduzibel und somit muss es selbst das MP sein.

Genauer: Wenn und , so ist auch für immer . Da und irreduzibel sind, sind sie bis auf Einheiten gleich.
____

Und was verstehst Du nicht? Den rein gruppentheoretischen Teil oder die Beziehung zwischen den Untergruppen und den Zwischenkörpern (Galoiskorrespondenz)?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hmm so genau kann ich dir gar nicht sagen, was ich nicht verstehe. ich weiß jetzt halt gar nicht, wie ich von den erweiterungsgraden auf irgendwelche untergruppen schliessen kann. das ist irgendwie alles so verwirrend, mit den automorphismen und alles, man muss ja immer alles zusammen betrachten und wenn man sich mit dem thema noch nicht so lange beschäftigt hat, dann fällt es schwer, sich alles zu merken und die zusammenhänge zu erkennen. du kennst das ja alles sicher schon viel länger als ich =)

edit: wegen dem minimalpolynom von b: ich wusste nicht, dass du über K[x] meintest, weiß aber auch nicht genau, was ich gedacht habe ^^ aber was du geschrieben hast ist natürlich klar ^^
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
du kennst das ja alles sicher schon viel länger als ich =)

Weil ich so alt bin? geschockt
Keine Angst, mein Geburtsdatum hier im Board ist nicht echt.

Na ja, was Du hier halt wissen musst ist folgendes:
Wenn L:K eine Galoiserweiterung ist, so gibt es eine ziemlich enge Bezeihung zwischen der Galoisgruppe G und der Erweiterung:
Zum einen ist der Erweiterungsgrad genau gleich der Gruppenordnung und zusätzlich gibt es eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der Untergruppen und der Menge der Zwischenkörper.
Man kann nämlich jeder Unterguppe genau einen Zwischenkörper zuordnen, wobei gilt.

Das ganze nennt sich Galoiskorrespondenz.

In unserem Fall benötigen wir die Aussage, dass es nur genau einen Zwischenkörper vom Grad (bzw. ) gibt. Dies wird nun gewährleistet, wenn es in der Galoisgruppe (mit der Ordnung ) eben nur genau eine Untergruppe der Ordnung (bzw. ) gibt.

Also bleibt zu zeigen, dass in einer Gruppe der Ordnung mit immer nur genau eine Untergruppe der Ordnung und genau eine der Ordnung existiert.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
nein ich meinte das natürlich nicht wegen dem alter ^^ dass du "199" jahre alt bist, hatte ich vorher auch noch gar nicht gelesen ^^ ich dachte nur, weil du halt so viel darüber weißt und für dich ist das alles klar und so ^^

ok also zu den gruppen:
wir haben , und p und q sind prim. also können die untergruppen nur p und q als ordnung haben, wegen lagrange. man muss jetzt also noch zeigen, dass es nicht mehr als jeweils eine von diesen untergruppen gibt, ja? aber wie geht man das nun an??? wie gesagt, bin da noch net so fit drin ^^
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Sylowsatz!
Dass Du den kennst, weiß ich. Big Laugh
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja den hatte ich auch schon vor mir eben. aber so viel weiß ich damit nicht anzufangen. also wir haben ja zumindest schonmal die voraussetzung dass die ordnung p^rm ist, bei uns halt p^1q und weil p und q prim, sind sie natürlich teilerfremd.
wahrscheinlich muss man den 3. satz anweden, aber was genau ist der index der p-sylow-untergruppe???

edit: also wenn ich mal annehme, dass bei wikipedia nicht mehrere m's verwendet werden, dann sollte das bei uns q sein. Und q hat keine teiler außer die 1 und sich selbst. ist dann die anzahl unserer p-sylow gruppen deswegen 1 oder q? wie bringe ich das ein, dass q nicht p-1 teilt? Habe irgendwo eben gelesen, dass man damit folgern kann, dass dann p nicht kongruent zu 1 mod q ist. bringt das was?

edit edit: hab jetzt gerade gelesen, dass die anzahl genau kongruent zu 1 mod q sein muss. dann kann es ja nur noch die 1 sein. oder???
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das bringt was. Die Anzahl der Sylow-p-Untergruppen ist zum einen ein Teiler des Index und zum anderen kongruent 1 modulo p. Also:

und . (Beachte )

Sowie:

und . (Beachte )

In beiden Fällen kannst Du folgern, dass es nur eine Sylowgruppe gibt.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das ist ja ca. das, was ich (wohl etwas unbeholfen ^^) versucht habe, aus irgendwelchen gelesenen sachen und sätzen zusammenzukratzen ^^.

hmmm, also ist das dann fertig??? bin schon so verwirrt, und auch langsam müde^^ werde mir das dann morgen nochmal schritt für schritt ansehen und alles richtig nachvollziehen. das war ja ein kleiner crashkurs xD
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du hast, hast Du alles beisammen, was Du benötigst.

Gute Nacht.
Wink
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja danke dir auch eine gute nacht und mal wieder vielen vielen dank für deine mühe und deine geduld!!!

LG
hamsterchen
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Eine kleine Korrektur muss ich noch anbringen:
Zitat:
Original von Reksilat
... zusätzlich gibt es eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der Untergruppen und der Menge der Zwischenkörper.
Man kann nämlich jeder Unterguppe genau einen Zwischenkörper zuordnen, wobei gilt.

Man ordnet hier einer Untergruppe ja den Zwischenkörper zu, der von den Automorphismen in festgelassen wird. Für diesen gilt allerdings .
Die Beziehung besteht also zwischen Körpererweiterungen vom Grad und Untergruppen vom Index .

Problematisch ist das hier aber nicht, denn wenn man zu jedem Teiler von pq genau eine Untergruppe dieser Ordnung hat, so hat man natürlich auch zu jedem Teiler eine Untergruppe, die diesen als Index hat.
smile

Gruß,
Reksilat.
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