Quotientenkriterium

13.07.2011, 16:14

mathe123454321

Quotientenkriterium

Meine Frage:
Hallo Freunde der Mathematik,

ich soll von folgender Reihe sagen, ob sie konvergiert.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\left(2n\right)!}{\left(3n\right)^{n}\cdot n!} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe in diesem Fall das Quotientenkriterium verwendet. Ich habe es bis zum folgenden Bruch zusammengefasst.

$\begin{eqnarray*} | \frac{(2n+1)\cdot 2\cdot (3n)^{n} }{(3(n+1)^{n+1} } | = | \frac{(2n+1)\cdot 2\cdot (n)^{n} }{((n+1)^{n}\cdot (3(n+1)) } | \end{eqnarray*}$

Leider komme ich an dieser Stelle nicht weiter.

Habt ihr eine Idee?

13.07.2011, 18:19

klarsoweit

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RE: Quotientenkriterium
Bilde jetzt den Grenzwert für n gegen unendlich. Von $\begin{eqnarray*} \frac{n^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$ sollte dir dieser bekannt sein.

13.07.2011, 18:31

Helferlein

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RE: Quotientenkriterium

Zitat:

Original von mathe123454321
Leider komme ich an dieser Stelle nicht weiter.

Habt ihr eine Idee?

Neu und vor allem richtig rechnen Big Laugh

Es ist $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(2n)!}{(3n)^n\cdot n!} \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2(n+1))!}{(3(n+1))^{n+1}\cdot (n+1)!} \cdot \frac{(3n)^n\cdot n!}{(2n)!} = \frac{(2n+2)!}{(3(n+1))^{n+1}\cdot (n+1)!} \cdot \frac{(3n)^n\cdot n!}{(2n)!} = \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \cdot \frac{(3n)^n\cdot n!} {(3(n+1))^{n+1}\cdot (n+1)!} = \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \cdot \frac{3^n\cdot n^n \cdot n!} {3^{n+1}\cdot (n+1)^{n+1}\cdot (n+1)!} \end{eqnarray*}$

Dann kannst Du eine Menge kürzen.
Die Frage ist nur, ob Dich diese Rechnung wirklich ans Ziel bringt, denn ich sehe da zumindest keine günstige Abschätzung, um einen Quotienten kleiner als eins herauszubekommen.

13.07.2011, 19:39

klarsoweit

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RE: Quotientenkriterium

Zitat:

Original von Helferlein
Neu und vor allem richtig rechnen Big Laugh

Sollte das heißen, daß mathe... falsch gerechnet hat? Wenn ja, finde ich den Fehler nicht. verwirrt

Wie dem auch, wenn man etwas die Augen aufmacht, sieht man, wohin das konvergiert.

13.07.2011, 20:57

mathe123454321

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Ich habe jetzt die Grenzwerte gebildet und komme auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^{n} }{(n+1)^{n} } = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2n+1}{(3n+3) } = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } 2 = 2 \end{eqnarray*}$

Somit komme ich auf einen Grenzwert von 4/3. Ich hoffe das stimmt. ^^

Vielen Dank für eure Mühe. Leider habe ich in meiner Rechnung auch noch nicht den Fehler gesehen.

13.07.2011, 21:16

mathe123454321

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...Ähm...natürlich ist der Grenzwert 0.

14.07.2011, 08:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathe123454321
Ich habe jetzt die Grenzwerte gebildet und komme auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^{n} }{(n+1)^{n} } = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Und ich sag noch, daß das ein bekannter Grenzwert ist. Augenzwinkern

Zitat:

Original von mathe123454321
Leider habe ich in meiner Rechnung auch noch nicht den Fehler gesehen.

Also wie gesagt, ich kann keinen Fehler finden. Vielleicht kann uns Helferlein auf die Sprünge helfen, was er mit seinem Beitrag wollte.

14.07.2011, 13:38

mathe1123454321

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Da habe ich es mir wohl zu einfach gemacht.

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{n}}{n+1^{n}} = (\frac{n}{n+1})^{n} =\frac{(\lim_{n \to \infty } n(1))} {(\lim_{n \to \infty } n(1+\frac{1}{n})) }^{n}=1^{n} =1 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, dass der Grenzwert doch bei 4/3 liegt. ...oder? ^^

14.07.2011, 13:45

klarsoweit

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Mal abgesehen davon, daß $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n}}{n+1^{n}} \end{eqnarray*}$ nicht gleich $\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^{n} \end{eqnarray*}$ ist, ist auch das falsch. unglücklich

Allenfalls ist $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n}}{(n+1)^n} = (\frac{n}{n+1})^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Güte, wie willst du mit solch miserablen Kenntnissen eine Analysisprüfung bestehen? verwirrt

14.07.2011, 15:11

mathe123454321

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Zitat:

Original von klarsoweit
Mal abgesehen davon, daß $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n}}{n+1^{n}} \end{eqnarray*}$ nicht gleich $\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^{n} \end{eqnarray*}$ ist, ist auch das falsch. unglücklich

Okay da habe ich die Klammer im Editor vergessen.

Zitat:

Meine Güte, wie willst du mit solch miserablen Kenntnissen eine Analysisprüfung bestehen? verwirrt

Das hilft mir leider auch nicht weiter.

Ich nehme an, dass der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^{n} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} e^{n} \end{eqnarray*}$

14.07.2011, 15:15

klarsoweit

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Langsam kommen wir in die richtige Richtung. Aber e^n kann es auch nicht sein, denn nach der Grenzwertbildung sind jegliche n's verschwunden.

Damit das Elend ein Ende hat: der Grenzwert ist 1/e.

14.07.2011, 16:01

Helferlein

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mea kulpa

Ich war stillschweigend davon ausgegangen, dass math123454321 (2(n+1))! falsch gegen (2n)! gekürzt hat und so auf die $\begin{eqnarray*} (2n+1)\cdot2 \end{eqnarray*}$ gekommen ist.
Mein Fehler, sorry.

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