Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen

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Kody Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen
Guten Tag,

stecke mal wieder bei einer Aufgabe fest, vielleicht find ich hier ja wieder Hilfestellung zu folgendem:

"Ein grüner und ein roter Würfel werden geworfen. Sei X die Augenzahl des roten Würfels und Y die Summe der Augenzahlen. Untersuchen Sie die beiden Zufallsvariablen X,Y auf Unabhängigkeit."

Habe gelesen, dass man stochastische Unabhängigkeit mit P(A und B)=P(A)*P(B) testen kann.

Weiterhin würd ich sagen, dass hier P(X)=1/6 ist und P(Y)=1/21. Soweit, so gut. Aber wie errechne ich jetzt meine Schnittmenge von A und B? Steh da etwas auf dem Schlauch...

Dankeschön!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kody
Habe gelesen, dass man stochastische Unabhängigkeit mit P(A und B)=P(A)*P(B) testen kann.

Nicht sehr gründlich, wie du dich mit der Materie auseinander setzt, das ist nämlich die Definition der Unabhängigkeit von Ereignissen - im vorliegenden Problem geht es um die Unabhängigkeit von Zufallsgrößen.

Letztere baut aber auf erster auf: Sind wie hier die Zufallsgrößen diskret, dann bedeutet Unabhängigkeit, dass für alle in Frage kommenden Werte die Gleichheit



gelten muss. Ist das hier der Fall - was denkst du?

Wenn ja, musst du es für alle beweisen - wenn nein, dann genügt die Angabe eines einzigen Gegenbeispiels .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen
Servus,

mir ist leider schon dein Ansatz
Zitat:
P(X)=1/6 ist und P(Y)=1/21
nicht klar. Kannst Du das mal erklären?

Sicher, sollte es sich um einen Laplace-Würfel handeln, dann ist P(X=1) = ...P(X=6) = 1/6.

Aber die Summe der Augenzahlen... Die sind doch nicht alle gleichwahrscheinlich, oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kommt noch dazu: Die einzelnen Y-Werte sind weder gleichwahrscheinlich, noch sind es 21 (es sind insgesamt 11, nämlich 2..12). Der Wert 1/21 taucht auch nirgends als Einzelwahrscheinlichkeit auf, bei keinem P(Y=j) .
Kody Auf diesen Beitrag antworten »

Also Unabhängigkeit muss ich jetzt mit

widerlegen.

Ich denke mal, ich kann davon ausgehen, dass jeder Zahl gleichwahrscheinlich gewürfelt wird, P(X) somit immer = 1/6 ist.

Bei Y können 11 Wertepaare auftreten. P(Y=2)=1/11.
Somit wäre P(X=1,Y=2)=1/6*1/11=1/66.

Wenn obige Formel für alle i,j-Paare gelten muss, dann versuche ich P(X=1,Y=4)=1/6*2/11=1/33 und hätte somit lineare Unabhängigkeit widerlegt? (Mit P(Y=4)=2/11, weil die Summe 4 durch 2 Wertepaare generiert werde kann).
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kody
Bei Y können 11 Wertepaare auftreten. P(Y=2)=1/11.

Da hast du meinen letzten Beitrag nicht gelesen: Y ist nicht gleichmäßig verteilt!!! P(Y=2)=1/11 ist falsch.
 
 
Kody Auf diesen Beitrag antworten »

also neuer Versuch:

meine linke Seite P(x=i, y=j) ist immer 1/36.
mein P(x=i) ist immer 1/6 (ich denke, von einem Laplace-Würfel kann ich hier ausgehen?).

Meine P(y=j) sind je nach j verschieden. y=3 kann z.b. zwei mal auftreten, und zwar wenn der eine würfel 1, der andere würfel 2 zeigt, und umgekehrt. Also ist P(y=3)=2/36. Womit das ganze l.a. wäre.

...hoffentlich...bitte nicht schlagen Hammer
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kody
meine linke Seite P(x=i, y=j) ist immer 1/36.

... sofern die Kombination X=i,Y=j überhaupt möglich ist! Z.B. ist P(X=6,Y=2)=0, wie man unschwer erkennt. Das wäre dann übrigens auch gleich ein Gegenbeispiel, da die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten P(X=6) und P(Y=2) beide positiv sind. Augenzwinkern
Aber dein Gegenbeispiel ist auch in Ordnung.

Zitat:
Original von Kody
Womit das ganze l.a. wäre.

Sagen wir nur "abhängig", dann ist es korrekt. Der Begriff "l.a." steht wohl für "linear abhängig", der hat hier bei den Würfelaugenzahlen nichts zu suchen.
Kody Auf diesen Beitrag antworten »

Hups, ja stimmt da war ich etwas schnell im schreibseln. War ja auch schon spät Big Laugh

Danke
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